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铜仁市第一中学2025-2026学年高二上学期9月数学测试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为
D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个
5．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（ ）

A．， B．，
C．， D．，
6．在空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（ ）．
A． B．1
C． D．2
8．如图，在直三棱柱中，，且，则（ ）

A．2 B．4 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．平面平面
10．已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线的倾斜角为钝角
C．边上的中线所在的直线方程为
D．边所在的直线方程为
11．在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．存在，使得 D．存在，使得平面
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ．
13．已知，，直线经过线段的中点，且垂直于线段，则直线的斜率为 ；直线的方程为 .
14．如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .

四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出，，，，五点的坐标；
(2)求．
16．［湖北武汉2024高二月考］求分别满足下列条件的直线的一般式方程.
（1） 经过点，且与轴垂直；
（2） 斜率为，在轴上的截距为7；
（3） 经过，两点.
17．（1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标；
（2）已知，，，求点的坐标使得；
（3）已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且.
18．如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN．

(1)证明：．
(2)设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．
19．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.
(1)证明：平面平面；
(2)若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；
对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；
对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；
对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.
故选：B.
2．【答案】D
【详解】因为，可得，
即，解之可得.
故选D.
3．【答案】B
【详解】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1，
所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，
又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得.
故选：B.
4．【答案】C
【详解】对A：由正方体性质知：，，
且、面，
所以面，又面，则，
由，故与不垂直，故A错误；
对B：由题意且，若是交点，连接，
所以，
故为平行四边形，则，，
所以所成角，即为所成角，
由题设，易知，
在中，
即夹角为，所以夹角为，
故向量在向量上的投影向量为：
，故B错误；
对C：令放在桌面上的顶点为，
若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，
此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，
根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大，
此时，截面是边长为的正六边形，
故最大面积为，故C正确；
对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为，
且奇数层均为个，偶数层均为，
而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为，
假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数，
令，则，而，故小球总共有10层，
由上，相邻的两层小球共有个，
所以正方体一共可以放个小球，故D错误.
故选C.
【关键点拨】D选项中，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键.
5．【答案】C
【详解】设C关于直线的对称点为，
则，解得，即，
C关于y轴的对称点为，

则的周长为，
当点在同一条直线上时，，即的周长最小；
此时的斜率为，故的方程为，
联立，解得，即，
对于，令，则，即，
故选：C
6．【答案】D
【详解】由题意知在空间四边形中，，，，且，，

则
，
故选：D
7．【答案】B
【详解】因为，，
所以 ，，
由空间共面向量定理可知，存在实数满足，
即，
所以，解得，所以的值为，
故选B.
8．【答案】B
【详解】由题意，直线两两垂直，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；

由，，得，，，，
则，，
所以，
故选：B.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，由图，，故A正确；
对于B，由A，
，故B正确；
对于C，
，则与BC不垂直，故C错误；
对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得，
注意到,
则，又，平面，
则平面，又平面，则平面平面，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【分析】利用斜率公式可判断A选项；利用斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，所以，直线的倾斜角为钝角，B对；
对于C选项，线段的中点为，则，
所以，边上的中线所在的直线方程为，即，C对；
对于D选项，边所在的直线方程为，即，D对.
故选：BCD.
11．【答案】AD
【详解】取的中点，建立如图所示空间直角坐标系：
设底面边长为2，
则，
所以，所以，
A. 当时，，，，所以，故A正确；
B. 当时，，，，所以不成立，故B错误；
C.，，故C错误；
D. 因为，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
使得平面，所以，所以，，符合，故D正确；
故选AD.
12．【答案】
【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点，
所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，
因为，设，，
，
所以，
所以，
所以，，
所以，
当时，有最小值，当时，有最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
13．【答案】；
【分析】首先根据两点斜率公式求得；再求出中点坐标，利用两直线垂直，斜率乘积为，求得，最后再写成点斜式方程，化简成一般式即可.
【详解】线段的中点坐标为，即，,
直线垂直于线段，故，故，
所以直线的方程为，化简得.
故答案为：，.
14．【答案】
【详解】

连接相交于点，点为底面的中心，取中点为，连接，则，因为平面平面ABCD，则平面，
以点为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
且底面ABCD边长为2，是等边三角形，则，
，则，，则，
，设平面的法向量为，
则，解得，取，则，
，所以，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点到平面的距离，则.
故答案为：.
15．【答案】(1)，，，，
(2)
【详解】（1）由题可知，，，，，
（2）由（1）可知，，，
则，
则.
16．【答案】
（1） 【解】因为直线经过点，且与轴垂直，
所以直线的方程为，化成一般式为.
（2） 【解】由直线的斜率为，在轴上的截距为7，得直线的斜截式方程为，化成一般式为.
（3） 【解】由直线经过，两点，得直线的两点式方程为，整理得.
【规律方法】
根据已知条件，明确表示直线方程的相关元素，再确定要采用的直线方程类型.
已知过一点和斜率；
已知斜率与轴上的截距；
已知过不同的两点与；
已知轴与轴上的截距分别为,.
【规律方法】
根据已知条件，明确表示直线方程的相关元素，再确定要采用的直线方程类型.
已知过一点和斜率；
已知斜率与轴上的截距；
已知过不同的两点与；
已知轴与轴上的截距分别为,.
17．【答案】（1）；（2）；（3）①21；②；③，.
【详解】（1）∵与共线，故可设，由得：，
故，∴；
（2）设，则，，，
∵，
∴，
∴点坐标为；
（3）①，
②∵，，设向量与的夹角为，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
③取轴上的单位向量，，依题意，
即，故，
解得，.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形相似的性质及线面平行的性质即可求解；
（2）由面面垂直可得线面垂直，进而根据二面角及线面角的定义，即可找到其平面角，利用三角形的边角关系，即可求解.
【详解】（1）证明：连接BD交AC于O，连接ON．

因为，，所以根据相似的性质可得．
因为直线平面ACN，平面MBD，平面平面，
所以，则，所以．
（2）取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF．
因为△MAD为等边三角形，所以不妨设，
则，．
因为平面平面ABCD，平面平面，平面,
所以平面ABCD，平面ABCD,所以，．
又因为E，F分别为AD，AC的中点，所以，
而，所以，又，平面MEF，
则平面MEF，平面MEF得，
所以∠MFE是二面角的平面角，即．
设，则，得．
过N作交AD于H，连接CH，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
则∠NCH为直线CN与平面ABCD所成的角，即．
，，．
因为，所以，
则．
因为，所以．
故的取值范围为．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，结合等腰三角形三线合一，得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）根据题目建立空间直角坐标系，设出点坐标，根据和垂直以及在上，即可得到点坐标，然后利用向量法求解面面角的余弦值，即可根据平方关系求得结果.
【详解】（1）由题知，，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
又是中点，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）由题知，以为原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
过作，因为，
所以，
则，设，
则，即，
又，即，
所以，
所以，即，
则，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，可得，
取，可得，
又，可得，
取，可得，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为.
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