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2.2　基本不等式（第一课时）（同步练习）
一、选择题
1.若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　)
A.4 B.4
C.9 D.18
2.已知x>0，y>0，且x＋y＝10，则xy有(　　)
A.最大值25 B.最大值50
C.最小值25 D.最小值50
3.已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为(　　)
A.1 B.
C. D.
4.不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)
A.x≥2y B.x>2y　
C.x≤2y D.x<2y
5.已知0A.8 B.16
C.2 D.4
6.已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是(　　)
A.xy≤ B.≥2
C.≥2 D.x2＋y2≥2|xy|
7.(多选)下面四个推导过程正确的有(　　)
A.若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B.若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C.若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D.若a<0，b<0，则≤ab
8.(多选)下列说法正确的是(　　)
A. a，b∈R，成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2
C. a，b∈R，a2＋b2≥2ab D.若x>2，则x＋≥2中可以取等号
二、填空题
9.已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为_______
10.已知x>2，则y＝x＋的最小值为________
11.已知012.已知x>－1，则的最小值为________
三、解答题
13.设a，b为正数，证明下列不等式：
(1)a＋≥2；(2)≥2．
14.已知x>3，求＋x的最小值．
15.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值．
参考答案及解析：
一、选择题
1.D　解析：因为m>0，n>0，mn＝81，所以m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取等号，故选D．
2.A　解析：∵≤(x>0，y>0)，且x＋y＝10，∴xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时，等号成立．故xy有最大值25．
3.C　解析：已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．
4.B　解析：由基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，即基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为x－2y>0，即x>2y．故选B．
5.D　解析：因为00，4－x2>0，故x2(4－x2)≤＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立，故x2(4－x2)的最大值为4．故选D．
6.|B　解析：对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy，即xy≤，当且仅当x＝y时取等号，故A项恒成立；对于B，当x，y异号时，<0，故B项不恒成立；对于C，＝|x|＋≥2＝2，当且仅当|x|＝，即x＝±1时取等号，故C项恒成立；对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D项恒成立．故选B．
7.AC
解析：A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确．B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以D错误．
8.BC　
解析：A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋≥2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号．
二、填空题
9.答案：36　
解析：4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36．
10.答案：6　
解析：因为x>2，所以x－2>0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋的最小值为6．
11.答案：　
解析：∵00．∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．
12.答案：16　
解析：＝(x＋1)＋＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16．
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．
三、解答题
13.证明：(1)因为a，均为正数，由基本不等式，得a＋≥2＝2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立，所以原不等式成立．
(2)因为a，b为正数，所以也为正数，由基本不等式，得≥2＝2，当且仅当，即a＝b时等号成立，所以原不等式成立．
14.解：因为x>3，所以x－3>0，
所以＋x＝＋(x－3)＋3≥2＋3＝2＋3＝7，
当且仅当＝x－3，即x＝5时，等号成立．
所以＋x的最小值为7.
15.解：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，
当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．
∴W≤2，即W的最大值为2.2.2　基本不等式（第二课时）（同步练习）
一、选择题
1.把121写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为(　　)
A.11 B.22
C.44 D.2
2.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　)
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
3.某企业2月份的产量与1月份相比增长率为p，3月份的产量与2月份相比增长率为q(p>0，q>0)，若该企业这两个月产量的平均增长率为x，则下列关系中正确的是(　　)
A.x≥ B.x≤　
C.x> D.x<
4.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“(　　)”的几何解释(　　)
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A.如果a>b>0，那么>
B.如果a>b>0，那么a2>b2
C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D.对任意正实数a和b，有a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立
5.某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　)
A.x＝ B.x≤
C.x> D.x≥
6.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　)
A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样 D.无法确定
7.(多选) 小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA.aC.8.(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是(　　)
A.当x＝40时，y取得最小值 B.当x＝45时，y取得最小值
C.ymin＝320 D.ymin＝360
二、填空题
9.矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________
10.中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式．设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为________
11.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝________时，矩形花坛AMPN的面积最小．
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12.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
三、解答题
13.(1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
(2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
14.某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200 m2，高度为1 m的三段污水处理池(如图)，由于受地形限制，其长、宽都不超过18 m，已知池的外壁的建造费为400元/m2，池中两道隔墙(与宽平行)的建造费为248元/m2，池底的建造费为80元/m2．设污水处理池的长为x m，总造价为y元．
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(1)求y的表达式；(2)污水处理池的长与宽各是多少时，总造价最低？并求出这个最低造价．
15.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH＝2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm)，设EF＝x cm．
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(1)当x＝60时，求海报纸(矩形ABCD)的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
参考答案及解析：
一、选择题
1.B　解析：设a>0，b>0，ab＝121，则a＋b≥2＝2＝22，当且仅当a＝b＝11时等号成立．故选B．
2.C　解析：设矩形的长为x cm，宽为y cm，0所以这个模型的面积xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以这个模型的最大面积为4 cm2．故选C．
3.B　解析：由题意可得(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，∴(1＋x)2＝1＋(p＋q)＋pq≤1＋(p＋q)＋＝，∴x≤，当且仅当p＝q时取等号．故选B．
4.C 解析:可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.
5.B 解析：由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，
因为(1＋a)(1＋b)≤，所以1＋x≤＝1＋，所以x≤，当且仅当a＝b时取等号．
6.B 解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．
第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
7.AD　解析：设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为，∴v＝＝．
∵b>a>0，由基本不等式可得<，∴v＝<＝，又v＝<＝，v－a＝－a＝>＝0，∴v>a，则a8.AC　解析：一年购买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要购买次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和y＝×8＋4x万元．
因为y＝×8＋4x≥2＝320，当且仅当＝4x，即x＝40时，等号成立，
所以当x＝40时，y取得最小值，ymin＝320．故选AC．
二、填空题
9.答案：32　
解析：由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32．
10.答案：3　
解析：由题意知，p＝7，S＝＝＝3，
当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，因此三角形面积的最大值为3．
11.答案：4
解析：设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM得＝，解得ND＝，
∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．
12.答案：5，8　
答案：由题意可知，年平均利润＝－x－＋18＝－＋18≤－2＋18＝8，
当且仅当x＝，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．
三、解答题
13.解：(1)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且xy＝12，
由，可得x＋y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝2．
所以把12写成两个2的乘积时，它们的和最小，最小为4．
(2)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且x＋y＝25，由≤＝，可得xy≤，
当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝，
所以把25写成两个的和时，它们的积最大，最大为．
14.解：(1)因为污水处理池的长为x m，所以宽为m．
由题意可得解得≤x≤18．
y＝400×1＋248×2××1＋80×200＝800＋16 000（≤x≤18）．
(2)∵y＝800＋16 000≥1 600×＋16 000＝44 800，
当且仅当x＝，即x＝18时取等号，此时，＝．
因此，当污水处理池长为18 m，宽为m时，其总造价最低，最低造价为44 800元．
15.解：(1)设阴影部分直角三角形的高为y cm，
所以阴影部分的面积S＝6×xy＝3xy＝36 000，所以xy＝12 000，
又x＝60，故y＝200，
由图可知AD＝y＋20＝220 cm，AB＝3x＋50＝230 cm．
海报纸的周长为2×(220＋230)＝900 cm．
故海报纸的周长为900 cm．
(2)由(1)知xy＝12 000，x>0，y>0，
S矩形ABCD＝(3x＋50)(y＋20)＝3xy＋60x＋50y＋1 000≥3xy＋2＋1 000＝49 000，
当且仅当6x＝5y，即x＝100 cm，y＝120 cm时等号成立，此时AB＝350 cm，AD＝140 cm．
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少．

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