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提升课19　函数的实际应用
考法巩固
1. 新考法 真实问题情境(2025郑州一模)小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录.小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡.
(1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
(2)小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量.每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
2. (2025南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆；B型客车租车费用为3 000元/辆.优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3 200－50m)元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
3. (2025郑州中原区三模)共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享.某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择.已知：A品牌电动车骑行x min，收费yA元，且yA＝x；B品牌电动车骑行x min，收费yB元，且yB＝，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示.
第3题图
(1)说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义；
(2)已知王老师家与学校的距离为9 km，且王老师骑电动车的平均速度为300 m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由；
(3)请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元.
4. 工人师傅要将如图所示的矩形ABCD分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品.已知AB＝2BC＝40 m，点E，F分别在AD和CD上，AE≥DE，且DF＝2DE.设AE＝x m.
第4题图
(1)设甲、乙两块材料的面积之和为S，求S与x之间的函数表达式；
(2)当AE取何值时，甲、乙两块材料的面积之和为325m2？
(3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
能力提升
5. 新考法　综合与实践(2025)(快答App·答疑高频试题192次)背景材料：某社区准备改造原半径为6 m的水池中的喷泉设施(如图①)，综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动.
第5题图
【建模分析】如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量了原喷泉的一些数据：喷水口位置在水池中心点O的正上方且竖直高度为2.25 m，水流最高高度为3 m，水流最高点距喷水管的水平距离为1 m.
任务1：以水池中心点O为原点，水平向右方向为x轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离；
【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外.
任务2：若将喷出的水流的最高点水平外移1 m，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为5 m，请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了尽可能使得喷出的水流所在抛物线的最高高度与水平宽度的比接近黄金比0.618，确定水流到喷水管的最大水平距离为5.5 m，喷水口的竖直高度为1.1 m，喷出的水流的最高高度为3.6 m.
任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式.
参考答案
1. 解：(1)设小亮每做一个深蹲消耗x千卡的热量，一个开合跳消耗y千卡的热量，
根据题意得，
解得.
答：小亮每做一个深蹲消耗0.8千卡的热量，一个开合跳消耗0.5千卡的热量；
(2)设安排m个深蹲，则安排＝(300－2m)个开合跳，
根据题意得m≥300－2m，
解得m≥100.
设消耗的总热量为w千卡，则w＝0.8m＋0.5(300－2m)，
即w＝－0.2m＋150，
∵－0.2＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w取得最大值.
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多.
2. 解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，根据题意，得＝，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的根，且符合题意，
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
(2)设租A型客车m辆，B型客车(10－m)辆，租车总费用为w元，
则60m＋45(10－m)≥530，解得m≥.
w＝(3 200－50m)m＋3 000×0.8×(10－m)
＝－50m2＋800m＋24 000.
∵－50＜0，且对称轴为直线m＝－＝8，
∴当m≤8时，w随着m的增大而增大.
∵m取正整数，且≤m≤8，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为27 000元.
∴本次研学活动学校的最少租车费用为27 000元.
3. 解：(1)由图象可得，P(20，8)，
交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20 min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元；
(2)由题意，当x＞10时，yB＝ax＋b(a≠0)，
将点(10，6)，(20，8)代入得，
，
∴，
∴当x＞10时，yB＝0.2x＋4.
∴yB＝
由题意，王老师从家骑行到学校所需时间为9 000÷300＝30(min)，
∴A品牌所需费用为0.4×30＝12(元)，B品牌所需费用为0.2×30＋4＝10(元)，
∵12＞10，
∴选择B品牌共享电动车更省钱；
(3)x的值为7.5或35.【解法提示】由题意，当0＜x≤10时，yB－yA＝3，∴6－0.4x＝3，∴x＝7.5.当x＞10时，yB－yA＝3或yA－yB＝3，∴0.2x＋4－0.4x＝3或0.4x－(0.2x＋4)＝3，∴x＝5(舍去)或x＝35.综上所述，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元.
4. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB＝2BC＝40 m，
∴AD＝20 m，
∵AE＝x，
∴DE＝20－x，
∴DF＝2DE＝2(20－x)，
∴S甲＝AB·AE＝×40x＝20x，S乙＝DE·DF＝(20－x)·2(20－x)＝x2－40x＋400，
∴S与x之间的函数表达式为S＝S甲＋S乙＝x2－20x＋400；
(2)将S＝325代入S＝x2－20x＋400中，得325＝x2－20x＋400，
解得x1＝5，x2＝15，
∵AE≥DE，
∴x≥20－x，
∴x≥10，
∴x＝15，
∴当AE＝15 m时，甲、乙两块材料的面积之和为325m2；
(3)存在，
∵S＝x2－20x＋400，
∴S丙＝20×40－(x2－20x＋400)＝－x2＋20x＋400＝－(x－10)2＋500，
∵AE＜AD，
∴x＜20，
∴10≤x＜20，
∵－1＜0，
∴当x＝10时，S丙最大，最大值为500，
∴丙部分面积的最大值为500 m2.
5. 解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为(1，3)，
∴设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y＝a1(x－1)2＋3(a1≠0)，
将(0，2.25)代入，得2.25＝a1(0－1)2＋3，
解得a1＝－，
∴原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋3.
令y＝0，得－(x－1)2＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1(不符合题意，舍去).
∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3 m；
任务2：∵将喷出的水流的最高点水平外移1 m，高度不变，∴顶点坐标为(2，3)，
∴设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y＝a2(x－2)2＋3(a2≠0)，
把x＝5，y＝0代入，得a2(5－2)2＋3＝0，
解得a2＝－，
∴优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3.
当x＝0时，y＝.
∴优化后喷水口的竖直高度为 m；
任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为y＝a3(x－h)2＋3.6(a3≠0)，
将(0，1.1)，(5.5，0)分别代入，
得，
∴a3h2＝－2.5①，a3(5.5－h)2＝－3.6②.
∵a3≠0，h≠0，
∴②÷①，得＝.
解得h1＝2.5，h2＝－27.5(不符合题意，舍去)，
将h＝2.5代入①，
得a3＝－0.4，
∴进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式为y＝－0.4(x－2.5)2＋3.6.

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