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提升课25　全等、相似类比探究
1. (2025齐齐哈尔节选)综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”.
第1题图
(1)【几何直观】如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，连接BD，CD'，则CD'与BD的数量关系是 ；∠AD'C与∠ADB的数量关系是 ；
(2)【类比推理】如图②，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，连接E'B，延长E'B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE'是正方形.
2. (2025江西节选)综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
图①
图②
第2题图
特例研究
(1)在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.如图①，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BFOE的值；
类比探究
(2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想BFOE的值是否与α有关，并说明理由.
参考答案
1. (1)解：相等(或CD'＝BD)；相等(或∠AD'C＝∠ADB)；
【解法提示】∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，∴∠DAD'＝90°，AD＝AD'，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAD'－∠DAC，即∠DAB＝∠D'AC，∵AB＝AC，∴△DAB≌△D'AC，∴CD'＝BD，∠AD'C＝∠ADB.
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC.
∵CE绕点C逆时针旋转90°得到CE'，
∴∠ECE'＝90°，CE＝CE'.
∵∠DCB＝∠ECE'＝90°，
∴∠DCB－∠BCE＝∠ECE'－∠BCE，
即∠DCE＝∠BCE'，
∴△DCE≌△BCE'(SAS)，
∴∠BE'C＝∠DEC＝90°.
∵∠CED＋∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠BE'C＝∠ECE'＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEFE'是矩形.
又∵CE＝CE'，
∴四边形CEFE'是正方形.
2. 解：(1)根据题意得△AEF∽△AOB，
∴∠EAF＝∠OAB，AFAB＝AEAO，
∴∠FAB＝∠EAO，AFAE＝ABAO，
∴△AFB∽△AEO，∴BFOE＝ABAO，
∵在正方形ABCD中，∠OAB＝45°，∠AOB＝90°，
∴ABAO＝2，
∴BFOE＝ABAO＝2；
(2)BFOE的值与α无关，理由如下，
同(1)可证△AFB∽△AEO，
∴BFOE＝ABAO，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO＝BO，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
如解图，过点O作OG⊥AB于点G，
∴AB＝2AG，cos∠BAO＝AGOA＝cos 30°＝32，
∴ABOA＝3，
∴BFOE＝ABAO＝3，
∴BFOE＝3为定值，
∴BFOE的值与α无关.
第2题解图

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