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提升课29　四边形中的学习方法及思维方式
在学习了特殊四边形的性质与判定后，同学们对四边形的研究进入了更深入的阶段，为了进一步探索更一般的四边形中对角线与边、角之间的关系，老师提出了一个新的概念：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”，如图①.
图①　　　　图②　　
第1题图
(1)定义探究
判断下列四边形是否为“60°等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“ ”.
①对角线所夹锐角为60°的平行四边形(　　)
②对角线所夹锐角为60°的矩形(　　)
③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形(　　)
(2)性质探究
如图②，四边形ABCD满足AC＝BD，∠AOB＝60°，则四边形ABCD是“60°等角线四边形”.
①当AC＝BD＝4，AO＝2时，四边形ABCD的面积为 ；
②若AC＝BD＝m，请你用含m的代数式表示四边形ABCD的面积.
2. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
(1)特例感知
根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 ；
A. 正方形 B. 等腰梯形
C. 矩形 D. 平行四边形
(2)一般研究
如图①，四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC且∠ADC＝30°，求证：四边形ABCD为勾股四边形；
图①
(3)类比研究
如图②，在四边形ABDC中，AD，BC为对角线，AB＝BC，∠BAC＝∠BDC＝45°，请直接写出线段BD，CD，AD的关系.
图②
3. (2025甘肃省卷)四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点(点D除外)，△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上.
第3题图
(1)如图①，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.
4. (2025南阳宛城区二模)综合与实践
在四边形ABCD中，点M是BC边上一点(可与端点重合)，点M关于直线AB的对称点为点N，连接AM，MN，AN，BD.
第4题图
(1)如图①，若四边形ABCD为正方形，点C与点M重合.AN与BD的数量关系是，AN与BD的位置关系是；
(2)如图②，若四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，M为BC边的中点，请写出AN与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接CN，将△AMN绕点A在平面内旋转，当MN∥BD时，请直接写出的值.
参考答案
1. (1) ，√，√；【解法提示】①∵对角线所夹锐角为60°的平行四边形的对角线不一定相等，则不能判定①是“60°等角线四边形”；②∵对角线所夹锐角为60°的矩形，对角线相等，且所夹锐角为60°，故②是“60°等角线四边形”；③∵对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“60°等角线四边形”，
(2)①4　【解法提示】如解图①，分别过点A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∵AO＝2，∠AOE＝60°，∴AE＝OA·sin 60°＝，∵AC＝4，∴CO＝AC－AO＝2＝AO，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴△AEO≌△CFO，∴AE＝CF＝，∵BD＝4，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CDB＝2××4×＝4.
第1题解图①
②如解图②，分别过点A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
设AO＝n，则OC＝m－n，
∵∠AOE＝60°，
∴AE＝OA·sin 60°＝，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AEO∽△CFO，
∴＝，即＝，
解得CF＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CDB＝m·＋m·＝m2；
第1题解图②
2. (1)解：A和C；
(2)证明：如解图①，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE.
第2题解图①
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，∠CDE＝∠DCE＝60°，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝AE.
∵∠CDE＝60°，∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，
∵DE＝CD，BD＝AE，
∴AD2＋CD2＝BD2，
∴四边形ABCD为勾股四边形；
(3)解：CD2＋2BD2＝AD2.
【解法提示】如解图②，过点B作BE⊥BD，使得BE＝BD，连接CE，DE，则△BDE为等腰直角三角形，∠BDE＝45°，DE＝BD，
第2题解图②
∵∠BDC＝45°，∴∠CDE＝90°，∴CD2＋ED2＝CE2，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC＝45°，∴∠ABC＝90°，∵∠EBD＝90°，∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠EBD，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE，∴CD2＋2BD2＝AD2.
3. 解：(1)BF＝DG.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠CDA＝90°，
∴∠FBA＝∠GDA＝90°.
∵EF＝EG，点E与点A重合，
∴AF＝AG，
∴Rt△FBA≌Rt△GDA(HL)，
∴BF＝DG；
(2)AE＝DG.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠CDA＝90°，
∴∠EAP＝∠GDE＝90°.
∵△EFG是直角三角形，EG＝EF，
∴∠GEF＝90°，
∴∠GEP＝90°，
∴∠AEP＋∠GED＝∠DGE＋∠GED＝90°，
∴∠AEP＝∠DGE.
∵EP＝EF，∴EP＝EG，
∴△EAP≌△GDE(AAS)，
∴AE＝DG；
(3)BF＝DG.理由如下：
如解图，过点F作FH⊥AB于点H，
第3题解图
∵EA⊥AB，
∴EA∥FH，
∴＝.
∵PE＝EF，
∴PA＝AH，
∴EA是△PFH的中位线，
∴FH＝2EA.
由(2)知，△EAP≌△GDE，AE＝DG，
∴FH＝2DG，AP＝DE，
∴DE＝AH，
又∵AD＝AB，
∴AD－DE＝AB－AH，
∴EA＝HB＝DG，
∴在Rt△FHB中，BF＝＝＝DG，即BF＝DG.
4. 解：(1)相等(或AN＝BD)，平行(或AN∥BD)；【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，点M关于直线AB的对称点为点N，点C与点M重合，∴AB垂直平分CN，AN＝AC，NB＝BC，∵正方形ABCD中，AC＝BD，BC＝AD，∴AN＝BD，NB＝AD，∴四边形ANBD是平行四边形，∴AN∥BD.
(2)BD＝2AN，AN∥BD.理由如下：
如解图①，连接AC，
第4题解图①
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵M为BC边的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠BAC＝30°，
∵点M关于直线AB的对称点为点N，
∴AB垂直平分MN，AN＝AM，∠BAN＝∠BAM＝30°，
∴∠BAN＝∠ABD，
∴AN∥BD，
设AB＝a，则AM＝AB·cos 30°＝a，BD＝2AB·cos 30°＝a，
∴AN＝a，
∴＝＝，
即BD＝2AN；
(3)的值为2或.
【解法提示】如解图②，设AC与BD相交于点O，将△AMN绕点A在平面内旋转，当点N旋转到BC的中点，点M旋转到CD的中点时，满足题意，此时M1N1∥BD，M1N1＝BD，在等边△ABC中，设AB＝2x，结合(2)知AM1＝AN1＝M1N1＝BD＝x，BD＝2BO＝2x，CN1＝BC＝BA＝x，∴＝＝2，当△AMN在平面内旋转到与△AM1N1关于点A成中心对称时，即将△AMN绕点A在平面内旋转到△AM2N2时，A，N1，N2三点共线，满足题意，此时M2N2∥BD，M2N2＝BD，则AN1＝AN2＝x，CN1＝BC＝BA＝x，∵CN2＝＝＝x，∴＝＝，综上所述，的值为2或.
第4题解图②

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