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提升课26　几何测量问题
考法巩固
1. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得一丈五尺.别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何.大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长15尺，同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺(1丈＝10尺，1尺＝10寸)，示意图如图所示，则这根竹竿的长度为(　　)
第1题图
A. 25尺 B. 35尺
C. 45尺 D. 55尺
2. 如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰△ABC，AB＝AC，其中斜坡AB与水平地面BC所成夹角∠ABC＝25°，当BC＝4米时，土堆顶端A到地面的距离AD为(　　)
第2题图
A. 4tan 25°米 B. 米
C. 2tan 25°米 D. 2sin 25°米
3. 如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔O在渔船的北偏西50°方向，上午10时，却发现灯塔O在渔船的南偏西80°方向.已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点A，B表示，则OB的距离为 海里.
第3题图
4. 如图，一数学兴趣小组测量某纪念碑AB高度的方案如下(图中所有点均在同一平面内)：他们在距点B水平距离227 m处立一高度为2.4 m的标杆CD，后退3 m在点F处望见E，C，A三点共线，EF＝1.6 m，则AB高度约为 m(结果保留1位小数).
第4题图
5. (2025浙江)无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500 m，从点A观测点P的仰角为α，cos α＝0.98，则A处到B处的距离为 m.
第5题图
6. 如图，小明想测量池塘两端A，B间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识，用了这样一个间接测量A，B间的距离方法：在地上取一点可以直接到达A点和B点的点C，测得AC长20 m，BC长为20 m，在AC的延长线上找一点D，使得CD长为20 m，在BC的延长线上找一点E，使得CE长为20 m，又测得此时D和E的距离为25 m，根据小明的数据，可知A，B之间的距离为 m.
第6题图
7. (2025内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为 m(结果保留根号).
第7题图
8. 新考法　真实问题情境(2025天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图①).
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7 m. 在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32 m. 根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度(结果取整数).
参考数据：tan 22°≈0.4，tan 31°≈0.6.
第8题图
9. (2025郑州中原区三模)九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯AB的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆CD，测得此时CD的影长CE为0.5米；在点C处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到CF的位置时，标杆的影长最大，此时CF⊥BG，测得影长CG为米，已知BA⊥AC，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯AB的高度.
第9题图
能力提升
10. 新考法　项目式学习综合与实践
“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片.某校九年级(1)班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度.
【素材一】如图①，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内.
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器(如图②).
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图③，摩天轮的最高高度为146 m，半径为70 m，该团队分成三组分别乘坐1号A、4号B和10号C轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表(观测误差忽略不计).
第10题图
1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况
【任务一】初步探究，获取基础数据
(1)如图③，请连接AO，BO，则∠AOB＝ °；
(2)求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度；(结果保留根号)
【任务二】推理分析，估算实际高度
(3)根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN；(结果用四舍五入法取整数，≈1.41)
(4)根据4号和10号轿厢的测量数据，则1号轿厢的测量数据x的值为 .(结果保留根号)
参考答案
1. C　【解析】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝15尺，标杆长＝1.5尺，影长＝0.5尺，∴＝，解得x＝45尺.
2. C　【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2米，在Rt△ADB中，∠ABC＝25°，tan∠ABC＝，∴AD＝BD·tan∠ABC＝2tan 25°(米).
3. 56　【解析】由题意可得，∠A＝50°，∠B＝80°，∴∠BOA＝180°－∠B－∠A＝50°，∴∠A＝∠BOA，∴OB＝AB，已知渔船的速度是28海里/小时，上午8时和10时的位置分别用点A，B表示，∴OB＝AB＝2×28＝56海里.
4. 62.9　【解析】如解图，过点E作EN⊥AB于点N，交CD于点M，则四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形，∴MN＝BD＝227 m，EM＝DF＝3 m，BN＝MD＝EF＝1.6 m，∴CM＝CD－MD＝2.4－1.6＝0.8 m，∵CM∥AN，∴△ECM∽△EAN，∴＝，∵CM＝0.8 m，BD＝227 m，EM＝DF＝3 m，∴＝，∴AN＝，∴AB＝AN＋NB＝＋1.6≈62.9(m)，即AB的高度约为62.9 m.
第4题解图
5. 490　【解析】在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500 m，∠A＝α，∴AB＝AP·cos α＝500×0.98＝490 m，∴A处到B处的距离为490 m.
6. 25　【解析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，∴△ABC≌△DEC，∴DE＝AB，∵DE＝25 m，∴AB＝25 m.
7. 120　【解析】如解图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得，EF∥AB，∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，在Rt△ACD中，CD＝90 m，∴AD＝＝＝30(m)，在Rt△BCD中，BD＝＝＝90(m)，∴AB＝AD＋BD＝120(m)，∴湖泊两端A，B的距离为120 m.
第7题解图
8. 解：如解图，延长DF与AB相交于点G，根据题意，可得DG∥CA.
由题意可得，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°，AG＝EF＝CD＝1.7，DF＝CE＝32.
在Rt△FGB中，tan∠GFB＝，
∴GF＝.
在Rt△DGB中，tan∠GDB＝，
∴GD＝.
∵GF＋DF＝GD，
∴＋32＝，
∴GB＝≈＝38.4，
∴AB＝AG＋GB＝1.7＋38.4＝40.1≈40.
∴世纪钟建筑AB的高度约为40 m.
第8题解图
9. 解：由题意，可知∠DCE＝∠BAE＝90°，
∴DC∥BA，
∴△DCE∽△BAE，
∴＝，
∵DC＝1米，EC＝0.5米，
∴＝＝2，即BA＝2EA，
设AC＝x，则AE＝x＋0.5，
∴BA＝2x＋1，
在Rt△GFC中，CF＝1，CG＝，
∴GF＝＝，
∴tan G＝＝＝＝，
∴BA＝(x＋)，
即(x＋)＝2x＋1，
解得x＝1，
∴AB＝2x＋1＝3(米)，
即路灯AB的高度为3米.
10. 解：(1)连接AO，BO，如解图①所示，45；
第10题解图①
【解法提示】∵“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中∠AOB包含了3个桥厢，∴×360°＝45°.
(2)如解图②，连接AO，BO，过点B作BE⊥AO于点E，
第10题解图②
∵点A此时的高度为146 m，半径为70 m，
∴点O高度为146－70＝76(m)，
∵BE⊥AO，∠AOB＝45°，
∴OE＝OB·cos 45°＝35，
∴B点的高度为(76＋35)m，
答：B点的高度为(76＋35)m；
(3)如解图③，连接OB，OC，BC，
第10题解图③
∵∠COB＝×360°＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴BC＝70，
过点D作DF⊥BC于点F，
设BF＝n，由素材二、素材三的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得＝＝4，＝＝，
∴DF＝4BF＝4n，CF＝DF＝n，
∴BC＝70＝BF＋FC＝n，即n＝28，
∴DN＝点D的高度＝点F的高度＝76＋BC－BF＝76＋35－28≈86 m，
答：写字楼的实际高度DN约为86 m；
(4).
【解法提示】如解图④，连接AO，BO，过点A作AP⊥DN交ND的延长线于点P，∵点A此时的高度为最高146米，∴PD＝146－(76＋7)＝70－7，由(3)可得点O到DN的距离为35＋4×28＝147，∴＝，即＝，解得x＝，即1号轿厢的测量数据x的值为.
第10题解图④

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