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提升课33　圆的实际应用
考法巩固
1. (2025驻马店驿城区一模)如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带.如图，已知矩形的宽为2 m，高为2 m，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是(　　)
第1题图
A. m B. m
C. m D. m
2. 新考法　跨地理学科(2025北京)如图，☉O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为 °.
第2题图
3. (2025苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min. 某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长度为 m. (结果保留π)
第3题图
4. (2024兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型.图②是模型驱动部分的示意图，其中☉M，☉N的半径分别是1 cm和10 cm，当☉M顺时针转动3周时，☉N上的点P随之旋转n°，则n＝ .
第4题图
5. (2025三门峡二模)一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径.小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7 cm，AB＝8 cm，CD＝6 cm. 请你根据上述数据计算纸杯杯口的直径是 cm.
第5题图
6. (2025洛阳洛龙区一模)某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学九年级数学兴趣小组进行了如下实地测量.如图，三片风叶AB，AC，AD两两所成的夹角为120°.小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角∠AEO＝53°，∠AEB是风叶AB的视角.已知三片风叶的长度均为40米.
第6题图
(1)当点D在AO上时，求点C到地面EO的距离；(结果精确到1米)
(2)在风叶旋转的过程中，估算视角∠AEB的最大值.(参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈)
　　　　　　
能力提升
7. (2025焦作模拟)综合与实践
【问题情境】
如图①为一个圆形喷水池，水池的圆心O处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，所以无法直接测量直径，需要如何进行呢？(水池边缘厚度忽略不计)
【解决方案】
出发前，同学们设计了如下两种方案：
方案一：如图②，先在水池边上取A，B两点，使得得A，O，B三点共线，再在水池外取一点C，测得AC，BC的长，在AC的延长线上取点D，使得CD＝AC，在BC的延长线上取点E，使得CE＝BC，最后测得DE的长即为直径AB的长；
方案二：如图③，先在水池边上取A，B两点，使得A，O，B三点共线，再在水池外取一点C，测得AC，BC的长，在AC的延长线上取点D，使得CD＝AC，在BC的延长线上取点E，使得CE＝BC，最后测得DE的长，便可求出AB的长.
第7题图
(1)请你选择其中一个方案判断理论上是否可行，并说明理由；
(2)同学们去实地考察后，发现喷水装置较大，阻挡视线，难以保证A，O，B三点共线，经过讨论，同学们利用《圆》一章的知识，设计并实施了方案三：如图④，在水池边上取三点A，B，C，使得AB＝AC，测得AB＝AC＝12米，BC＝8米，通过计算，可以求得圆形喷水池的直径.请根据测量的数据，求出圆形喷水池的直径.(结果精确到0.1米，其中≈1.414)
参考答案
1. C　【解析】如解图，连接AD，BC，交于O点，连接CD，根据题意可知BC是直径，∴BC＝＝＝4，∵四边形ABDC是矩形，∴OC＝OD＝BC＝2，∵CD＝2，∴OC＝OD＝CD，∴∠COD＝60°，∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°－60°＝300°，∴改建后门洞的圆弧长是＝＝(m)，即需要的灯带的长度至少是 m.
第1题解图
2. 43　【解析】由题意知∠DOB＝∠FOB＝23.5°，∴∠DOF＝∠DOB＋∠FOB＝47°，∵GD∥HF，∴∠OFH＝180°－∠DOF＝180°－47°＝133°，∵FI是☉O的切线，∴OF⊥FI，∴∠OFI＝90°，∴∠IFH＝∠OFH－∠OFI＝133°－90°＝43°.
3. 40π　【解析】∵最高点离水面平台MN的距离为128 m，圆心O到MN的距离为68 m，∴摩天轮的半径为128－68＝60(m)，∵摩天轮匀速旋转一圈用时30 min，轿厢从点A出发，10 min后到达点B，∴∠AOB＝×360°＝120°，∴该轿厢所经过的路径长度为＝40π(m).
4. 108　【解析】∵☉M转动3周，☉N上的点P随之转动n°，☉M的半径为1 cm，∴点P转动的弧长为3×2π＝6π(cm)，∵☉N的半径为10 cm，∴＝＝6π，解得n＝108.
5. 10　【解析】如解图，记过A，B，C，D四点的圆的圆心为O，过点O作MN⊥AB，分别交CD，AB于点M，N，连接OD，OB，∴MN＝7 cm，OB＝OD，∵CD∥AB，∴MN⊥CD，∴DM＝CD＝×6＝3(cm)，BN＝AB＝×8＝4(cm)，设OM＝x cm，∴ON＝MN－OM＝(7－x)cm，∵OM2＋MD2＝OD2，ON2＋BN2＝OB2，∴OM2＋MD2＝ON2＋BN2，∴x2＋32＝(7－x)2＋42，解得x＝4，∴OM＝4(cm)，∴OD＝＝5(cm)，∴纸杯杯口的直径为5×2＝10(cm).
第5题解图
6. 解：(1)由题意可知OE＝48米，
在Rt△AEO中，∠AEO＝53°，
∴AO＝OE·tan 53°≈48×＝64(米).
如解图①，过点C作CF⊥直线EO于点F，过点A作AG⊥CF于点G，
第6题解图①
∴∠AOF＝∠AGF＝∠OFG＝90°，
∴四边形AOFG是矩形，
∴GF＝AO＝64米，∠OAG＝90°，
由题意可得∠CAD＝120°，
∴∠CAG＝30°，
∴CG＝AC＝20米，
∴CF＝CG＋GF＝20＋64＝84(米)，
故当点D在AO上时，点C到地面EO的距离约为84米；
(2)分情况讨论，情况1：如解图②，过点A作AB'⊥BE于点B'，
在Rt△AB'E中，AB'＝AE·sin∠AEB'，
∵AE是定值，
∴AB'随着∠AEB'的增大而增大，当B'，B两点重合，即EB与☉A相切于点B时，AB'＝AB，AB'最大，此时∠AEB'最大，∠AB'E＝90°，
在Rt△AEO中，AE＝≈＝80(米)，
∵sin∠AEB'＝＝＝，
∴∠AEB'＝30°；
情况2：如解图②，过点A作AB″⊥BE于点B″，同情况1可得∠AEB″＝30°，
综上所述，在风叶旋转的过程中，估算视角∠AEB的最大值为30°.
第6题解图②
7. 解：(1)选择方案一：
理论上，方案一可行，理由如下：
在△DCE与△ACB中，
∴△DCE≌△ACB(SAS)，
∴DE＝AB，即测得ED的长，可知AB的长，
∴理论上，方案一可行；
或选择方案二：
理论上，方案二可行，理由如下：
∵CD＝AC，CE＝BC，
∴＝，＝，∴＝.
∵∠DCE＝∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴＝＝，
∴AB＝2ED，即测得ED的长，可知AB的长，
∴理论上，方案二可行；
(2)如解图，过点A作AD⊥BC于点D，则点O在AD上，连接OB.
第7题解图
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝4，
∴AD＝＝＝8.
设OA＝OB＝r，则OD＝8－r.
在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝OB2，即(8－r)2＋42＝r2，
解得r＝，
∴2×≈12.7(米)，
∴圆形喷水池的直径约为12.7米.

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