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提升课35　尺规作图—间接作图的三种思路
考法巩固
1. 利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是(　　)
2. (2025陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法)
第2题图
3. (2025郑州一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O，AO＝CO.
(1)找出图中与∠DAC相等的角，并说明理由；
(2)AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，点E，F分别在边BC，AD上(保留作图痕迹，不写作法).
第3题图
4. (2025烟台)如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长.
第4题图
5. (2025许昌二模)已知△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径.
(1)请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC上找一点D，使得DA＝DB(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接AD并延长，交☉O于点E，连接BE，求证：△ACD≌△BED.
第5题图
6. (2025洛阳二模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在边BC右上方确定点D，使DC＝DB，且满足tan∠CBD＝2；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若BC＝2AC，试探究AB和BD的关系，并说明理由.
第6题图
能力提升
7. (2025周口项城市一模)如图，直线AB⊥直线CD，垂足为P，测得∠ACP＝45°，AC＝6.
(1)用尺规在图中作一段劣弧AC，使得它在A，C两点分别与直线AB和CD相切(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)记(1)中所作劣弧的圆心为O，在☉O中，弦AE＝8，连接CE，直接写出CE的长.
第7题图
8. 新考法　无刻度直尺作图 如图，在9×5的网格中，点A，B，C都在格点上.请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(保留作图痕迹).
(1)在图①中，过点C作CD∥AB；
(2)在图②中，作线段BE，使得BE平分△ABC的面积.
第8题图
参考答案
1. C　【解析】A.根据同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故该选项正确，不符合题意；B.根据内错角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故该选项正确，不符合题意；C.根据同旁内角相等，不能判定直线a平行于直线b，故该选项错误，符合题意；D.根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故该选项正确，不符合题意.
2. 解：解法一：如解图①，点P即为所求作.(作法不唯一)
第2题解图①
解法二：如解图②，点P即为所求作.
第2题解图②
解法三：如解图③，点P即为所求作.
第2题解图③
3. 解：(1)∠DAC＝∠ACB.
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵AO＝OC，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAC＝∠ACB；
(2)如解图，四边形BEDF即为所求作.(作法不唯一)
第3题解图
4. 解：解法一：(1)如解图①，△BDE即为所求作；(作法不唯一)
【作法提示】以点D为圆心，CD长为半径画弧，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与前弧交于点E，连接BE，DE，则△BDE为所求作的三角形.
第4题解图①
解法二：如解图②，△BDE即为所求作；
第4题解图②
(2)如解图③，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵△BED与△BCD关于直线BD成轴对称图形，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BF＝DF，
设AF＝x，则BF＝DF＝2－x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得12＋x2＝(2－x)2，
解得x＝，∴AF＝.
第4题解图③
5. (1)解：如解图①，点D即为所求作；(作法不唯一)
第5题解图①
(2)证明：如解图②，
第5题解图②
∵AB为☉O的直径，
∴∠C＝∠E＝90°，
由(1)知DA＝DB，
在△ACD和△BED中，
，
∴△ACD≌△BED(AAS).
6. 解：(1)作图如解图所示；
第6题解图
(2)AB＝BD且AB⊥BD.
理由：由作图可知DT垂直平分线段BC，
∴CT＝TB，
∵BC＝2AC，DT＝2BT＝BC，
∴BT＝AC，
∵∠ACB＝∠DTB＝90°，
∴△ACB≌△BTD(SAS)，
∴AB＝DB，∠A＝∠DBT，
∵∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠DBT＋∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD.
7. 解：解法一：(1)如解图①，劣弧AC即为所求作；(作法不唯一)
第7题解图①
解法二：如解图②，劣弧AC即为所求作；
第7题解图②
解法三：如解图③，劣弧AC即为所求作；
第7题解图③
(2)CE的长为4＋2或4－2.
【解法提示】如解图④，当点E在AO左侧时，过点A作AH⊥CE于点H，∵AB⊥CD，OA⊥AB，OC⊥CD，∴∠P＝∠OAP＝∠OCP＝90°，∴四边形OAPC为矩形，∴∠AOC＝90°＝2∠E，∴∠E＝45°，∵AH⊥CE，∴△AEH为等腰直角三角形，AH＝EH，∴AH2＋EH2＝AE2，∵AE＝8，∴AH＝EH＝AE＝4，∴CH＝＝2，∴EC＝EH＋CH＝4＋2；如解图⑤，当点E在AO右侧时，过点A作AH⊥CE交EC延长线于点H，同理可求AH＝EH＝AE＝4，CH＝＝＝2，∴EC＝EH－CH＝4－2，综上所述，CE的长为4＋2或4－2.
图④
图⑤
第7题解图
8. 解：(1)如解图①，CD即为所求作；
(2)如解图②，BE即为所求作.(作法不唯一)
第8题解图

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