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专题3　整式及因式分解
基础巩固
1. (2025长沙)智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为(　　)
A. 6m B. m＋10 C. 60m D. 10m
2. (2025陕西)计算2a2·ab的结果为(　　)
A. 4a2b B. 4a3b
C. 2a2b D. 2a3b
3. (2025湖北省卷)下列运算的结果为m6的是(　　)
A. m3＋m3 B. m2·m3
C. D. m4÷m2
4. (2025云南)按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是(　　)
A. (2n－1)a B. (2n＋1)a
C. (n＋1)a D. 2025a
5. (北师七下习题改编)若(　　)·2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是(　　)
A. a B. 2a C. ab D. 2ab
6. (2025山西)下列运算正确的是(　　)
A. 2a＋3b＝5ab B. m2·m4＝m6
C. (a－b)2＝a2－b2 D. ＝6m6
7. (2025商丘模拟)《孙子算经》中记载“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分.”说明了长度计量单位之间的关系：1秒＝10忽，1毫＝10秒，1厘＝10毫，1分＝10厘，则90分等于(　　)
A. 9×103忽 B. 9×104忽
C. 9×105忽 D. 9×106忽
8. (2025郑州中学四模)若m，n是正整数，且满足4m＋4m＋4m＋4m＝2n×2n×2n×2n，则m与n的关系正确的是(　　)
A. m＝n B. m＋1＝2n
C. m＋1＝n2 D. 2m＝n2
9. 能利用乘法公式进行简单的推理如图①，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图②所示，将A，B并排放置后构造新的正方形如图③所示.若图②和图③中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为(　　)
第9题图
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
10. (2025连云港)计算：5a－3a＝ .
11. (2025广东省卷)因式分解：a2b＋ab2＝ .
12. (2025甘肃省卷)因式分解：x2－6x＋9＝ .
13. (人教七上习题改编)单项式－的系数是，请写出它的一个同类项： .
14. (2025威海)若2x－3y＝2，则6y－4x＋1＝ .
15. (2025成都)多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是(填一个即可) .
16. 定义新运算：a※b＝ab＋b2，则(2m)※m的运算结果是 .
17. 用若干个大小相同的小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有7个小正方形，第②个图案有10个小正方形，第③个图案有15个小正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中小正方形的个数为 .
第17题图
18. (2025扬州)化简：a(a＋2)－a2÷a.
19. (2025浙江)化简求值：x(5－x)＋x2＋3，其中x＝2.
20. 化简：(x＋2y)(x－2y)－(2x－y)(x＋4y).
21. 已知x－y＝5，求(y＋2x)2－3x(x＋2y)的值.
综合训练
22. 新考法代数推理(2025郑州一模)分解因式a3－a＝；若a是整数，则a3－a一定能被整数k整除，整数k的最大值是.
23. 新考法　注重过程性下面是小华同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
2(x＋3)(x－3)＋(2x－1)2－x(1－6x)
＝2(x2－9)＋4x2－4x＋1－(x－6x2) 第一步
＝2x2－18＋4x2－4x＋1－x－6x2 第二步
＝－5x－17 第三步
(1)任务一：第一步化简所用的乘法公式有：；
(2)任务二：小明的化简过程从第步开始出错，出错的原因是；
(3)任务三：请写出正确的化简过程，并求出当x＝－1时该整式的值.
参考答案
1. D　【解析】∵机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果，且该机器人搭载m个机械手，∴该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为10m.
2. D
3. C　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A m3＋m3＝2m3
B m2·m3＝m2＋3＝m5
C ＝m2×3＝m6 √
D m4÷m2＝m4－2＝m2
4. A　【解析】观察代数式可知字母a的系数改变，指数不变，每个代数式的系数依次为1＝2×1－1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1；9＝2×5－1，…，则第n个代数式的系数为(2n－1)，即第n个代数式是(2n－1)a.
5. A　【解析】2a3b÷2a2b＝a，即这个单项式是a.
6. B　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 2a与3b不是同类项，无法合并
B m2·m4＝m2＋4＝m6 √
C (a－b)2＝a2－2ab＋b2≠a2－b2
D ＝23m2×3＝8m6≠6m6
7. C　【解析】90分＝90×10×10×10×10＝9×105忽.
8. B　【解析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算法则及合并同类项可得：4m＋4m＋4m＋4m＝4×4m＝4m＋1＝22m＋2，2n×2n×2n×2n＝24n，且满足4m＋4m＋4m＋4m＝2n×2n×2n×2n×2n，∴2m＋2＝4n，即m＋1＝2n.
9. C　【解析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则题图②中阴影部分的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝1，在题图③中阴影部分的面积为(a＋b)2－a2－b2＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab＝12，∴a2＋b2＝13.
10. 2a
11. ab(a＋b)
12. (x－3)2
13. －，3x2y(答案不唯一)
14. －3　【解析】∵6y－4x＋1＝－4x＋6y＋1，∴当2x－3y＝2时，原式＝－4x＋6y＋1＝－2(2x－3y)＋1＝－2×2＋1＝－3.
15. 4x(答案不唯一)
16. 3m2　【解析】∵a※b＝ab＋b2，∴(2m)※m＝2m·m＋m2＝2m2＋m2＝3m2.
17. 70　【解析】由题图可知第①个图案中小正方形的个数为7＝12＋6，第②个图案中小正方形的个数为10＝22＋6，第③个图案中小正方形的个数为15＝32＋6，…，∴第○n个图案中小正方形的个数为n2＋6，∴第⑧个图案中小正方形的个数为82＋6＝70.
18. 解：原式＝a2＋2a－a
＝a2＋a.
19. 解：原式＝5x－x2＋x2＋3
＝5x＋3，
当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13.
20. 解：原式＝x2－4y2－(2x2＋8xy－xy－4y2)
＝x2－4y2－2x2－8xy＋xy＋4y2
＝－x2－7xy.
21. 解：原式＝y2＋4xy＋4x2－3x2－6xy
＝x2－2xy＋y2
＝(x－y)2，
∵x－y＝5，
∴原式＝52＝25.
22. a(a＋1)(a－1)，6　【解析】a3－a＝a(a2－1)＝a(a＋1)(a－1)，若a是整数，则a－1，a，a＋1是三个连续的整数，∴a(a＋1)(a－1)能被±1，±2，±3，±6整除，∴最大的整数是6.
23. 解：(1)平方差公式，完全平方公式；
(2)二；括号前是“－”号，去掉括号时未将括号内的第二项变号；
(3)原式＝2(x2－9)＋4x2－4x＋1－(x－6x2)
＝2x2－18＋4x2－4x＋1－x＋6x2
＝12x2－5x－17.
当x＝－1时，原式＝12×1＋5－17
＝0.

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