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专题6　分式方程
基础巩固
1. (北师八下习题改编)下列方程中，不是分式方程的是(　　)
A. －＝5 B. ＝1
C. ＝ D. ＝－2
2. (人教八上习题改编)解分式方程＝－3时，去分母正确的是(　　)
A. 2x＝3－3x＋3 B. 2x＝3－6x－6
C. 2x＝3－6x＋6 D. 2x＝3－6x＋2
3. (2025平顶山二模改编)已知x＝2是分式方程－＝1的解，则实数k的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 分式方程＝的解是(　　)
A. x＝3 B. x＝2
C. x＝ D. x＝
5. 对于实数a，b，定义一种新运算“Θ”为：aΘb＝，例如：1Θ2＝，则xΘ(－2)＝－2的解是(　　)
A. x＝ B. x＝－
C. x＝－ D. x＝
6. (北师八下习题改编)分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围(　　)
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2
C. m＜3 D. m＜3且m≠－2
7. (2025齐齐哈尔)如果关于x的分式方程＋＝2无解，那么实数m的值是(　　)
A. m＝1
B. m＝－1
C. m＝1或m＝－1
D. m≠1且m≠－1
8. 如果关于x的分式方程－＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是(　　)
A. m＜1且m≠0 B. m＜1
C. m＞1 D. m＜1且m≠－1
9. (2025甘肃省卷)方程＝1的解是x＝ .
10. (2025北京)方程＋＝0的解为 .
11. (2024武汉)分式方程＝的解是 .
12. 若关于x的分式方程＝＋2有增根，则m的值为 .
13. 已知自然数20，8，5的倒数分别为，，，且它们的倒数满足关系：－＝－，那么我们称这样的一组数为“匹配数”，已知x(x＞7)，7，4是一组“匹配数”，则x的值为 .
14. 已知关于x的分式方程－＝5.
(1)若分式方程的解是x＝5，则a的值是 ；
(2)若分式方程的解是非负数，且a满足不等式a－1≤1，则所有满足条件的偶数a的值之和为 .
15. (北师八下习题改编)解方程：＋＝.
16. (人教八上习题改编)解方程：＝－.
17. (华师八下习题改编)解方程：－1＝.
综合训练
18. 新考法　注重过程性(2025广东省卷)
在解分式方程＝－2时，小李的解法如下：
第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2， 第二步：1－x＝－1－2， 第三步：－x＝－1－2－1， 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x＝4.
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
参考答案
1. A
2. C
3. C　【解析】方程两边同乘x(x＋k)，得10(x＋k)－20x＝x(x＋k)，当x＝2时，10(2＋k)－20×2＝2×(2＋k)，解得k＝3.
4. D　【解析】原方程去分母，得x＋3＝5x，解得x＝，经检验，x＝是分式方程的解.
5. C　【解析】根据定义得：＝－2，去分母，得1＝2－2x－8，解得x＝－，经检验，x＝－是原分式方程的解.
6. B　【解析】方程两边同时乘以x－1，得2＝x－1－m，解得x＝m＋3，∵分式方程＝1－的解为正数，∴m＋3＞0，∴m＞－3，∵x≠1，即m＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范围为m＞－3且m≠－2.
7. C　【解析】方程去分母，得mx－x＝2(1－x)，整理，得(m＋1)x＝2，∵原方程无解，∴①整式方程无解，则m＋1＝0，解得m＝－1，②分式方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，把x＝1代入(m＋1)x＝2，得m＋1＝2，解得m＝1，∴m的值为1或－1.
8. A　【解析】方程两边同时乘以x(x＋1)得，x＋1－mx＝0，解得x＝，∵分式方程的解是负数，∴m－1＜0，∴m＜1，又∵x(x＋1)≠0，∴x＋1≠0，∴≠－1，∴m≠0，∴实数m的取值范围是m＜1且m≠0.
9. －1　【解析】去分母，得2x＝x－1，移项，得x＝－1，经检验x＝－1是原方程的解，∴原方程的解为x＝－1.
10. x＝2　【解析】方程两边乘最简公分母x(x－6)，得2x＋x－6＝0，解得x＝2，经检验x＝2是原方程的解.
11. x＝－3　【解析】原方程去分母，得x2－x＝x2－2x－3，解得x＝－3，检验：当x＝－3时，(x－1)(x－3)≠0，∴原方程的解为x＝－3.
12. 5　【解析】方程两边同时乘(x－3)，得m＋4＝3x＋2(x－3)，解得x＝m＋2，∵方程有增根，∴x－3＝0，∴x＝3，∴m＋2＝3，∴m＝5.
13. 28　【解析】根据“匹配数”的定义，当x＞7时，根据题意得－＝－，解得x＝28，经检验，x＝28是原分式方程的解且符合题意，∴x的值为28.
14. (1)－5；　【解析】解分式方程－＝5，去分母，得4x－a＋2a＝5(x－2)，解得x＝a＋10，∵x＝5，∴a＝－5.
(2)－20.　【解析】∵分式方程的解是非负数，∴a＋10≥0且a＋10≠2，∴a≥－10且a≠－8，又∵a满足不等式a－1≤1，∴a≤2，∴a的取值范围为－10≤a≤2且a≠－8，∴满足条件的偶数a的值有－10，－6，－4，－2，0，2，∴这些数之和为－10＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＝－20.
15. 解：去分母得：3－(x－2)＝2x－1，
整理得：3－x＋2＝2x－1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，3(2x－1)≠0，
故原方程的解为x＝2.
16. 解：方程两边同时乘x(x－1)，
得2x＝1－3(x－1)，
解得x＝，
检验：当x＝时，x(x－1)≠0，
∴原方程的解为x＝.
17. 解：整理，得－1＝，
去分母，得x(x－2)－(x－2)2＝4，
解得x＝4，
检验：当x＝4时，(x－2)2≠0，
∴原方程的解为x＝4.
18. 解：小李的解法中第一步是去分母，去分母的依据是等式的性质，小李的解答过程不正确，正确的解答过程如下：
去分母，得·(x－2)＝－·(x－2)－2(x－2)，
整理，得1－x＝－1－2x＋4，
移项、合并同类项，得x＝2，
检验：当x＝2时，x－2＝0，
∴原分式方程无解.

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