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专题7　一元二次方程
基础巩固
1. (人教九上习题改编)若关于x的方程(k－3)x2－8x－10＝0是一元二次方程，则k的取值范围是(　　)
A. k＝3 B. k≠3
C. k＞3 D. k≠0
2. (人教九上习题改编)用配方法解方程x2＋8x＋7＝0，变形后的结果正确的是(　　)
A. (x＋4)2＝－7
B. (x＋4)2＝9
C. (x＋4)2＝23
D. (x＋4)2＝－9
3. (2024贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　)
A. x1＝3，x2＝1
B. x1＝2，x2＝0
C. x1＝3，x2＝－2
D. x1＝－2，x2＝－1
4. (2025湖北省卷)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)
A. x1＋x2＝－4
B. x1＋x2＝3
C. x1x2＝4
D. x1x2＝3
5. (2025北京)若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)
A. －4 B. －1
C. 1 D. 4
6. (2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　)
A. 2 B. －2
C. 2或－2 D.
7. 若一元二次方程的根为x＝，则该一元二次方程为(　　)
A. 2x2＋3x＋1＝0
B. －2x2－3x＋1＝0
C. －2x2＋3x－1＝0
D. －2x2＋3x＋1＝0
8. (2025安徽)下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　　)
A. x2＋1＝0
B. x2－2x＋1＝0
C. x2＋x＋1＝0
D. x2＋x－1＝0
9. (2025安阳一模)若关于x的一元二次方程x2＋x－t＝0没有实数根，则t的值可以为(　　)
A. －2 B. －1 C. 0 D.
10. (2025河北)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
11. 关于一元二次方程(2x－3)2＝1＋p2的根的情况是(　　)
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 只有一个实数根
12. 新考法　结论开放(2025郑州一模)若关于x的方程x2－2x＋c＝0有实数根，则c的值可以是(写出一个即可) .
13. (2025苏州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ .
14. (2025泸州)若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为 .
15. (北师九上习题改编)解方程：x2＋4x－2＝0.
16. (2025齐齐哈尔)解方程：x2－7x＝－12.
17. 解方程：x2－9＝2x＋6.
18. (2025南充)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根.
(1)当x1＝－1时，求x2及m的值；
(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
综合训练
19. (2025郑州管城区二模)定义新运算：m*n＝m2－2m－3n，例如：3*4＝32－2×3－3×4＝－9，若关于x的一元二次方程x*a＝3有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)
A. a＞ B. a≥
C. a＞－ D. a≥－
20. (2025郑州经开区二模)若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2＋kx＋b＝0的根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
参考答案
1. B　【解析】根据题意，得k－3≠0，∴k≠3.
2. B　【解析】x2＋8x＋7＝0，移项得x2＋8x＝－7，配方得x2＋8x＋16＝－7＋16，整理得(x＋4)2＝9.
3. B
4. D　【解析】∵x2－4x＋3＝0，∴a＝1，b＝－4，c＝3，∴x1＋x2＝－＝4，x1·x2＝＝3.
5. C　【解析】∵关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝0且a≠0，∴22－4a＝0且a≠0，∴a＝1.
6. A　【解析】∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，∴a2－4＝0且a＋2≠0，解得a＝2.
7. D　【解析】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x＝，由题意可知a＝－2，b＝3，c＝1，∴该一元二次方程为－2x2＋3x＋1＝0.
8. D　【解析】由根的判别式可知，b2－4ac＝02－4×1×1＝－4，∴方程无实数根，A选项不符合题意；b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，B选项不符合题意；b2－4ac＝12－4×1×1＜0，∴方程有无实数根，C选项不符合题意；b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，D选项符合题意.
9. A　【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋x－t＝0没有实数根，∴Δ＝12＋4×t＜0，解得t＜－1，∴t的值可以是－2.
10. C　【解析】整理得，x2＋2x－3＝0，其中a＝1，b＝2，c＝－3，∴m＝－＝－＝－2，n＝＝＝－3，∴点(m，n)即(－2，－3)，位于平面直角坐标系的第三象限.
11. B
12. 0(答案不唯一)　【解析】根据题意得Δ＝(－2)2－4c≥0，解得c≤1，所以c可以取0.
13. －3　【解析】当x＝1时，代入，得1＋2－m＝0，∴m＝3，∴原方程为x2＋2x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－3.
一题多解法
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝－2，∵x1＝1，∴x2＝－3.
14. 10　【解析】将x＝α代入原方程，得2α2－6α－1＝0，∴2α2－6α＝1.∵一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，∴α＋β＝3，∴2α2－3α＋3β＝(2α2－6α)＋3(α＋β)＝1＋3×3＝10.
15. 解：由题意得a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝－2－，x2＝－2＋.
16. 解：∵x2－7x＝－12，
∴x2－7x＋12＝0，
∴(x－4)(x－3)＝0，
∴x－4＝0或x－3＝0，
解得x1＝4，x2＝3.
17. 解：∵x2－9＝2x＋6，
∴(x＋3)(x－3)＝2(x＋3)，
∴(x＋3)(x－3)－2(x＋3)＝0，
∴(x＋3)(x－3－2)＝0，
∴x＋3＝0，x－3－2＝0，
解得x1＝－3，x2＝5.
18. (1)解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，
得m2＝6，
∴m＝±，
∴(x－1)(x－2)＝6，
即x2－3x－4＝0，
∴(x－4)(x＋1)＝0，
∴x1＝－1，x2＝4，
∴x2＝4，m＝±；
(2)证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0，
∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程(x－1)(x－2)＝m2，即x2－3x＋2－m2＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2，
∴(x1－1)(x2－1)
＝x1·x2－(x1＋x2)＋1
＝2－m2－3＋1
＝－m2.
∵m2≥0，
∴－m2≤0，
即(x1－1)(x2－1)≤0.
19. C　【解析】∵x*a＝3，∴x2－2x－3a＝3，方程化为一般式为x2－2x－3a－3＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4×(－3a－3)＞0，解得a＞－.
20. A　【解析】∵一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴Δ＝k2－4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根.

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