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专题10　函数概念及新函数
(单元整合思维：掌握研究函数的方法)
1. (2025云南)函数y＝的自变量x的取值范围为(　　)
A. x≠4 B. x≠3
C. x≠2 D. x≠1
2. (2025江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是(　　)
第2题图
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
新考法　跨生物学科(2025广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是(　　)
第3题图
A. 第5天的种群数量为300个
B. 前3天种群数量持续增长
C. 第3天的种群数量达到最大
D. 每天增加的种群数量相同
4. 某学校生物兴趣小组想要在空地上规划一块面积为8平方米的矩形区域ABCD种植蔬菜，用于观察其生长情况，为便于观察，他们在矩形ABCD外围设置了宽度均为0.5米的小路，如图①所示.在规划种植区域的长和宽时，小明发现，若设AB＝x米，四周小路的面积为y平方米，此时y是x的函数，请结合学习函数的经验，对函数y随x的变化而变化的规律进行探究.
由题意得，BC＝米，EF＝(x＋1)米，FG＝(＋1)米，则四周小路的面积为y＝＋x＋1(x＞0)，问题就转化为研究该函数.
图①
图②
第4题图
(1)列表：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 10 7 a b ...
则表格中a＝ ，b＝ ；
(2)描点：如图②，根据上表数据，已经描出了部分点，请在图中补全剩余点并用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(3)观察(2)中所画的图象，回答下列问题：
①已知点(x1，y1)，(x2，y2)在该函数图象上，若1＜x1＜x2≤2，则y1 y2，若5＜x1＜x2，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)；
②写出函数y＝＋x＋1(x＞0)的一条性质或结论： ；
(4)若四周小路的面积不超过7平方米，求BC长的最小值.
参考答案
1. D
2. A　【解析】如解图，记跳跃高度为y，身高为x，比值为k，则k＝，∴y＝kx，∵在第一、三象限内，一次函数图象倾斜程度越大，k越大，∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，∴获胜的同学是甲.
第2题解图
3. B
4. 解：(1)7，10；
【解法提示】当x＝4时，a＝＋4＋1＝7，当x＝8时，b＝＋8＋1＝10.
(2)补全点并画出函数图象如解图；
第4题解图
(3)①＞，＜；
【解法提示】由函数图象可知，当1＜x≤2时，y随x的增大而减小，∴当1＜x1＜x2≤2时，y1＞y2；当x＞5时，y随x的增大而增大，∴当5＜x1＜x2时，y1＜y2.
②函数y的值随x值的增大先减小后增大；函数存在最小值；函数图象与坐标轴无交点；(答案不唯一，合理即可)
(4)∵四周小路的面积不超过7平方米，
∴y＝＋x＋1≤7，
由表格可得当y＝7时，x＝2或x＝4，
由解图可知当y≤7时，x的取值范围为2≤x≤4，
∵BC＝米，
∴当x＝4时，取到最小值，最小值为＝2米，
即当四周小路的面积不超过7平方米时，BC长的最小值为2米.

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