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专题12　一次函数的图象与性质
基础巩固
1. (2025上海)下列函数中，是正比例函数的是(　　)
A. y＝3x＋1 B. y＝3x2
C. y＝ D. y＝
2. (2025广西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，则b＝(　　)
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
3. (北师八上习题改编)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－ax和一次函数y＝x＋a的图象可能是(　　)
4. 一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6).若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为(　　)
A. y＝3x B. y＝－3x
C. y＝x D. y＝－x
5. (2025安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是(　　)
A. (－2，2) B. (2，1)
C. (－1，3) D. (3，4)
6. (2025陕西)在平面直角坐标系中，过点(1，0)，(0，2)的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是(　　)
A. (1，－3) B. (1，3)
C. (－3，2) D. (3，2)
7. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过平面直角坐标系中四个点A(1，1)，B(3，2)，C(2，3)，D(1，3)中的任意两个，则使k值最大的一次函数的图象经过的两点为(　　)
第7题图
A. 点B，C B. 点B，D
C. 点A，B D. 点A，C
(2025山西)氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得.实践小组通过实验发现.在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为(　　)
第8题图
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A. y＝ B. y＝9x
C. y＝x D. y＝
9. (2025湖北省卷)已知一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而增大.写出一个符合条件的k的值是 .
10. (2025苏州)过A，B两点画一次函数y＝－x＋2的图象，已知点A的坐标为(0，2)，则点B的坐标可以为 (填一个符合要求的点的坐标即可).
11. (2025郑州金水区二模改编)数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y1与y2的图象相交于点(1，－2)，则不等式y1＜y2的解集是 .
第11题图
12. (2025郑州一模改编)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在一次函数y＝3x＋4的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是 .
13. (2025天津)将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是 (写出一个即可).
14. 如图，直线l1：y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2过点A且与l1垂直并交y轴于点C，则点C的坐标为 .
第14题图
15. 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，若关于x的不等式kx＋b＜mx＋n的解集为x＜－1，则n－m的值为 .
16. (2025周口模拟改编)如图，一次函数y＝kx＋2(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若S△ABO＝3，则关于x的方程kx＋2＝0的解为 .
第16题图
综合训练
17. (2025省实验中学一模)当1≤x≤3时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为(　　)
A. －2或0 B. 0或1
C. －2或－3 D. －3或1
18. (2025北京)[2021河南22题考查数形结合思想]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5).
(1)求k，b的值；
(2)当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既小于函数y＝kx＋b的值，也小于函数y＝x＋k的值，直接写出m的取值范围.
参考答案
1. D　【解析】A.y＝3x＋1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意；B.y＝3x2是二次函数，故不符合题意；C.y＝是反比例函数，故不符合题意；D.y＝是正比例函数，故符合题意.
2. D　【解析】∵一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，∴将x＝4，y＝3代入表达式中，得3＝－4＋b，解得b＝7.
3. B　【解析】当a＞0时，一次函数y＝－ax经过第二、四象限且过原点，一次函数y＝x＋a经过第一、二、三象限，B选项符合；当a＜0时，一次函数y＝－ax经过第一、三象限且过原点，一次函数y＝x＋a经过第一、三、四象限，没有符合的选项.
4. A　【解析】∵点A和点B关于原点对称，∴2＝－n，m＝－(－6)，∴n＝－2，m＝6，∴A(2，6)，B(－2，－6).设正比例函数的表达式为y＝kx，将A(2，6)代入y＝kx中，得6＝2k，解得k＝3，∴这个正比例函数的表达式为y＝3x.
5. D　【解析】如解图，位于阴影区域的点均符合题意(不包含边界)，则D选项符合题意.
第5题解图
6. B　【解析】令过点(1，0)，(0，2)的直线表达式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线的表达式为y＝－2x＋2，则将该直线向上平移3个单位长度后，所得直线的表达式为y＝－2x＋5，显然只有B选项符合题意.
7. D　【解析】如解图，∵y＝kx＋b是一次函数，∴可以经过的直线有AB，AC，BC，BD，直线BC，BD经过第一、二、四象限，此时k＜0；直线AB经过第一、二、三象限，直线AC经过第一、三、四象限，此时k＞0，∵直线AC与x轴的夹角大于直线AB与x轴的夹角，∴当直线经过点A，C时，k值最大.
第7题解图
8. C　【解析】通过观察表格数据可知，＝，故y与x之间的函数关系式为y＝x.
9. 2(答案不唯一)　【解析】∵一次函数y＝kx＋b中y随x的增大而增大，∴k＞0，故可取k＝2.
10. (1，1)(答案不唯一)　【解析】当x＝1时，y＝－1×1＋2＝1，∴点B的坐标可以为(1，1).
11. x＞1
12. y1＜y2　【解析】∵在一次函数y＝3x＋4中，k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，∵x1＜x2，∴y1＜y2.
13. 2(答案不唯一)　【解析】将直线y＝3x－1向上平移m个单位得y＝3x－1＋m，∵平移后得直线经过第三、第二、第一象限，∴－1＋m＞0， m＞1，∴m的值大于1即可.
14. (0，－1)　【解析】令y＝0，则－x＋3＝0，解得x＝，∴A(，0)，∵AC⊥AB，∴设直线l2的表达式为y＝x＋b，把A(，0)代入，得0＝×＋b，∴b＝－1，∴直线l2的表达式为y＝x－1，当x＝0时，y＝－1，∴C(0，－1).
一题多解法
∵∠AOB＝∠BAC＝90°，∴∠OBA＋∠OAB＝∠OAC＋∠OAB＝90°，∴∠OBA＝∠OAC，∵∠AOC＝∠BOA，∴△BOA∽△AOC，∴＝，令y＝0，解得x＝，∴OA＝，令x＝0，解得y＝3，∴OB＝3，即＝，∴OC＝1，∴C(0，－1).
15. －3　【解析】将(2，3)和(－1，－3)代入y＝kx＋b(k≠0)，得，解得，即y＝2x－1，当x＝－1时，y＝－3，∵关于x的不等式kx＋b＜mx＋n的解集为x＜－1，∴n－m＝－3.
16. x＝－3
17. A　【解析】当m＋1＞0，即m＞－1时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值4，∴3(m＋1)＋m2＋1＝4，得m1＝0，m2＝－3(舍去)，当m＋1＜0，即m＜－1时，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值4，∴(m＋1)＋m2＋1＝4，解得m1＝－2，m2＝1(舍去)，综上，当1≤x≤3时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为0或－2.
18. 解：(1)∵在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
∴，解得；
(2)2≤m≤3.
【解法提示】如解图，当m＝2时，y＝2x与y＝2x＋1平行，此时当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值既小于函数y＝2x＋1的值，也小于函数y＝x＋2的值；当2＜m≤3时，此时当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值既小于函数y＝2x＋1的值，也小于函数y＝x＋2的值.综上所述，m的取值范围是2≤m≤3.
第18题解图

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