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专题13　反比例函数的图象与性质
基础巩固
1. (2025重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是(　　)
A. (2，6) B. (－4，－3)
C. (－3，－4) D. (6，－2)
2. (人教九下习题改编)若点(a，b)在第一象限，则反比例函数y＝的图象大致是(　　)
3. (2025湖北省卷)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是(　　)
第3题图
A. 3 A B. 4 A C. 5 A D. 6 A
(2025连云港)如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝(k2＜0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是(　　)
第4题图
A. x＜－1或x＞1 B. x＜－1或0＜x＜1
C. －1＜x＜0或x＞1 D. －1＜x＜0或0＜x＜1
5. (2025山东省卷)如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y＝(x＞0)的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为(　　)
第5题图
A. 0＜x≤2 B. x≥2
C. 0＜x≤4 D. x≥4
6. (2025天津)若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1
C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1
7. (2025郑州管城区二模)如图，点A(a，a)是反比例函数y＝(k≠0)的图象与☉O的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的表达式为(　　)
第7题图
A. y＝ B. y＝
C. y＝ D. y＝
8. (2025甘肃省卷)已知点A(2，y1)，B(6，y2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，如果y1＞y2，那么k＝ (请写出一个符合条件的k值).
9. (2025陕西)如图，过原点的直线与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为 .
第9题图
如图，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，连接OA，AB⊥y轴于点B，点C在OA上，连接BC，若BC＝CO，则△BOC的面积为 .
第10题图
11. 如图，在平面直角坐标系中作矩形ABCD，其中A(3，0)，B(0，3)，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象经过矩形的顶点C，D，且＝3，则k的值为 .
　第11题图
12. (2025安阳一模)如图，已知直线y＝3x，它与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点A(2，a).
第12题图
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点(网格线的交点)，再画出反比例函数的图象；
(3)过点A作AH⊥x轴于点H，P是反比例函数y＝(x＞0)图象上一动点，当△AHP的面积为3时，请直接写出点P的坐标.
综合训练
13. (2025洛阳一模)数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具(如图①，将它放入如图②的平面直角坐标系中.顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点D恰好落在反比例函数y＝(x＞0)的图象上.
第13题图
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将此教具沿x轴正方向平移m个单位长度，在平移的过程中，若此教具边CD与反比例函数图象始终有交点，求m的取值范围.
参考答案
1. D
2. C　【解析】∵点(a，b)在第一象限，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限.
3. A　【解析】∵电流I与电阻R是反比例函数关系，由题图可得，在第一象限内，I随R的增大而减小，∴当R＞9 Ω时，I＜4 A，∴电流I可能是3 A.
4. C　【解析】由反比例函数的对称性得点B的横坐标为1，根据图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围为－1＜x＜0或x＞1.
5. A　【解析】∵正方形OABC的面积为4，∴BC＝AB＝2，∴点B的坐标为(2，2)，∴当y≥2时，x的取值范围为0＜x≤2.
6. D　【解析】当x＝－3时，y1＝3，当x＝1时，y2＝－9，当x＝3时，y3＝－3，∴y2＜y3＜y1.
7. D　【解析】设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得πr2＝4π，解得r＝4(负值已舍去).∵点A(a，a)是反比例函数y＝的图象与☉O的一个交点，∴a2＝k且＝r，∴a2＝4，∴k＝×4＝4，则反比例函数的表达式是y＝.
8. 1(答案不唯一，写出一个正数即可)　【解析】由题可知，在y轴右侧，y随x增大而减小，符合题意的图象应为第一象限反比例图象，可得k＞0，写出一个满足k＞0条件的k值即可.
9. 9　【解析】∵过原点的直线与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，∴m＋m－6＝0，n＋n－6＝0，解得m＝3，n＝3，∴A(3，3)，将A(3，3)代入y＝中，得3＝，∴k＝9.
10. 1　【解析】∵AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°，∴∠ABC＋∠OBC＝90°，∠AOB＋∠BAO＝90°.∵BC＝CO，∴∠BOC＝∠OBC，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝CO，∴C是OA的中点.∵S△AOB＝×4＝2，∴S△BOC＝S△AOB＝1.
11. 4　【解析】如解图，过点D作DE⊥x轴于点E，∴∠AOB＝∠DEA＝90°.∵A(3，0)，B(0，3)，∴OA＝OB＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝∠DAE＝∠ADE＝45°，∴△AOB∽△DEA，∴＝＝＝3，∴EA＝ED＝1，∴OE＝OA＋EA＝4，∴D(4，1)，将D(4，1)代入y＝(k＞0，x＞0)中，得k＝4.
第11题解图
12. 解：(1)将A(2，a)代入直线y＝3x得，a＝3×2＝6，即点A的坐标为(2，6)，
将A(2，6)代入反比例函数y＝(x＞0)得，k＝2×6＝12，即y＝(x＞0)，
则反比例函数的表达式为y＝(x＞0)；
(2)根据反比例函数的表达式y＝(x＞0)，选择点(3，4)，(4，3)，(6，2)，先描出这三个点，再画出反比例函数的图象如解图①；
第12题解图①
(3)点P的坐标为(1，12)或(3，4).
【解法提示】如解图②，过点A作AH⊥x轴于点H，设点P到AH的距离为h，由题意可知AH＝6，∵S△AHP＝×AH×h＝3，∴h＝1，即点P到AH的距离为1，∴点P的横坐标为2－1＝1或2＋1＝3，分别代入反比例函数y＝(x＞0)可得，y＝＝12或y＝＝4，∴点P的坐标为(1，12)或(3，4).
第12题解图②
13. 解：(1)由题意知，点D的坐标为(2，3)，
∵点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝(x＞0)；
(2)由题意知，点C的坐标为(2，1)，
∵将教具沿x轴正方向平移m个单位长度，在平移的过程中，教具边CD与反比例函数图象始终有交点，
∴当点C落在函数y＝(x＞0)的图象上时，m取得最大值，点C的坐标为(2＋m，1)，
∵此时点C在y＝(x＞0)的图象上，
∴1＝，解得m＝4，
∴m的取值范围为0≤m≤4.

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