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专题15　二次函数的图象与性质
基础巩固
1. (人教九上习题改编)二次函数y＝－(x＋1)2－3的图象的顶点坐标是(　　)
A. (－1，3) B. (－1，－3)
C. (1，3) D. (1，－3)
2. 抛物线y＝－x2－4x＋5的对称轴为(　　)
A. 直线x＝－2 B. 直线x＝2
C. 直线x＝4 D. 直线x＝－4
3. 已知点A(1，n)在抛物线y＝x2＋2x－3上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标(　　)
A. (0，－3) B. (－2，－3)
C. (－3，0) D. (1，0)
4. (2024省实验中学三模)若抛物线y＝ax2－4x＋c的开口方向向下，交y轴于正半轴，则抛物线的顶点位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
5. (北师九下习题改编)关于x的二次函数y＝x2－2mx＋m2－1(m＞1)的图象可能是(　　)
A
B
C
D
6. (2025威海)已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2
C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y2＞y1
7. (2025开封一模)加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求.体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线的一部分，其行进的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).如图所示，A，B，C三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为(　　)
第7题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. (2025郑州二模)将抛物线y＝－x2＋1向上平移m(m＞0)个单位后，与x轴交于A，B两点，若AB＝4，则m的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数值y的几组对应值如下表：
x ... －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)
A. 图象的开口向上
B. 当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线x＝1
10. (2025福建)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　)
A. 1＜y1＜y2 B. y1＜1＜y2
C. 1＜y2＜y1 D. y2＜1＜y1
11. (2025陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(　　)
A. 图象的开口向下
B. 当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C. 函数的最小值小于－3
D. 当x＝2时，y＜0
12. (2025许昌一模)已知函数y＝(x＋1)2，当x＞－1时，y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
13. 已知二次函数y＝x2－2x－3的图象经过点A(4，y1)，B(b，y2)，若y1＞y2，则b的取值范围是 .
14. 当a－2≤x≤a时，二次函数y＝x2－4x＋3的最小值为15，则a的值为 .
15. 已知抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－2.
第15题图
(1)b＝ ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
(2)求抛物线y＝x2＋bx＋3的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线；
(3)若－4＜x1＜－3，1＜x2＜3，直接写出y1和y2的大小关系.
综合训练
16. (2025郑州外国语三模)已知抛物线y＝－x2＋2mx－2m＋1(m为常数).
(1)当m＝1时.
①直接写出该抛物线与y轴的交点C的坐标；
②求此时抛物线的顶点P坐标；
③点Q也是该抛物线上的点，如果△CPQ是直角三角形，求出此时点Q的坐标；
(2)当2≤x≤6时，所对应的函数值y大于－5，直接写出m的取值范围.
参考答案
1. B　【解析】∵题干所给二次函数表达式为顶点式，即y＝a(x－h)2＋k，(h，k)为该抛物线顶点坐标，∴二次函数y＝－(x＋1)2－3的图象的顶点坐标是(－1，－3).
2. A
3. C　【解析】∵点A(1，n)在抛物线y＝x2＋2x－3上，∴n＝12＋2×1－3＝0，设点A(1，0)关于对称轴的对称点的坐标为(a，0)，∵抛物线y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－＝－＝－1，∴＝－1，解得a＝－3，故点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为(－3，0).
4. B　【解析】∵二次函数y＝ax2－4x＋c的图象开口向下，交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∴顶点在x轴的上边，∵－＝－＝＜0，∴抛物线的顶点位于第二象限.
5. C　【解析】当x＝0时，y＝m2－1，∵m＞1，∴y＝m2－1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误；y＝x2－2mx＋m2－1＝(x－m)2－1，∴函数图象的对称轴为直线x＝m，∵m＞1，∴选项A错误；当x＝m时，函数值为y＝－1，∴选项B错误，选项C正确.
6. C　【解析】∵抛物线y＝－(x－2)2＋c，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，∵三点为(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)，∴与对称轴的距离分别为｜－2－2｜＝4，｜3－2｜＝1，｜7－2｜＝5，∴1＜4＜5，∴y2＞y1＞y3.
7. C　【解析】设抛物线的对称轴为直线x＝m，点C关于对称轴的对称点为D，记点D的横坐标为xD，∵xC＝8，∴＝m，解得xD＝2m－8，由题图易知点C关于对称轴的对称点D是介于A，B两点之间的，∴0＜xD＜4，即0＜2m－8＜4，解得4＜m＜6，∴实心球行进到最高点时水平距离x可能为5.
8. B　【解析】新抛物线的表达式为y＝－x2＋m＋1，当y＝0时，－x2＋m＋1＝0，解得x1＝，x2＝－，∵AB＝4，∴－(－)＝4，解得m＝3.
9. D　【解析】将(0，0)代入二次函数y＝ax2＋bx＋c中，得c＝0，∴二次函数的表达式为y＝ax2＋bx.将(－2，－8)，(3，－3)代入y＝ax2＋bx中，得，解得，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x，∴该二次函数的图象开口向下，故A选项错误；该二次函数的对称轴为直线x＝－＝1，故D选项正确；∴x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，故B选项错误；该二次函数的图象经过第一、三、四象限，故C选项错误.
10. A　【解析】∵抛物线的表达式为y＝3x2＋bx＋1，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－＝－，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当x＝0时，y＝1，∴抛物线过点(0，1)，∵3＜b＜4，∴－＜－＜－，∵＝－＞－，＝－1＜－，∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于点B(1，y2)到对称轴的距离，∴1＜y1＜y2.
11. D　【解析】∵二次函数y＝ax2－2ax＋a－3＝a(x－1)2－3，∴顶点坐标为(1，－3)，∵二次函数y＝ax2－2ax＋a－3的图象与x轴有两个交点，∴二次函数图象开口向上，即a＞0，故A选项错误；∴二次函数有最小值，为－3，故C选项错误；由顶点坐标(1，－3)及a＞0，易得当x＜1时，y的值随x值的增大而减小，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，故B选项错误；∵二次函数y＝ax2－2ax＋a－3的图象与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，∴当x＝0时，y＜0，∵对称轴为直线x＝1，∴当x＝2时，y＜0，故D选项正确.
12. 增大
13. －2＜b＜4　【解析】∵二次函数y＝x2－2x－3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴A(4，y1)关于对称轴对称的点坐标为(－2，y1)，∵点A(4，y1)，B(b，y2)在抛物线上，且y1＞y2，∴b的取值范围为－2＜b＜4.
14. a＝8或a＝－2　【解析】当y＝15时，有x2－4x＋3＝15，解得x1＝－2，x2＝6.∵当a－2≤x≤a时，函数有最小值15，∴a－2＝6或a＝－2，∴a＝8或a＝－2.
15. 解：(1)4，(0，3)；
【解法提示】∵抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－2，∴－＝－2，解得b＝4，∴y＝x2＋4x＋3，当x＝0时，y＝3，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，3).
(2)配方，得y＝(x＋2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(－2，－1).
列表如下：
x … －4 －3 －2 －1 0 …
y … 3 0 －1 0 3 …
图象如解图所示：
第15题解图
(3)y1＜y2.
16. 解：(1)①(0，－1)；【解法提示】当m＝1时，y＝－x2＋2x－1，将x＝0代入，得y＝－1，∴C(0，－1).
②∵y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2，
∴点P的坐标为(1，0)；
③△CPQ为直角三角形有三种情况：①当∠CPQ＝90°时，如解图①，易得OC＝OP＝1，∠PCQ＝45°，∴由对称可知，点Q的坐标为(2，－1)；
第16题解图①
②当∠PCQ＝90°时，如解图②，
第16题解图②
∵C(0，－1)，P(1，0)，
∴直线CP的表达式为y＝x－1，
∴kCQ＝－1，
设直线CQ的表达式为y＝－x＋b，
代入(0，－1)，得b＝－1，
∴直线CQ的表达式为y＝－x－1，
令－x2＋2x－1＝－x－1，
解得(舍)或，
∴点Q的坐标为(3，－4)；
③当∠CQP＝90°时，不存在这样的点Q；
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，－1)或(3，－4)；
(2)m＞3.【解法提示】∵y＝－x2＋2mx－2m＋1＝－(x－m)2＋m2－2m＋1，∴对称轴为直线x＝m，①当m≥6，x＝2时，取最小值y＝－4＋4m－2m＋1＞－5，解得m＞－1，∴m≥6；②当m≤2，x＝6时取最小值，y＝－36＋12m－2m＋1＞－5，解得m＞3(舍)；③当2＜m≤4时，x＝6时取最小值，y＝－36＋12m－2m＋1＞－5，∴m＞3，∴3＜m≤4；④当4＜m＜6时，x＝2时取最小值，y＝－4＋4m－2m＋1＞－5，∴m＞－1，∴4＜m＜6；综上所述，m＞3.

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