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专题16　二次函数表达式的确定(含图象变化)
二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为(　　)
第1题图
A. y＝－2x2＋4x＋6
B. y＝－x2＋2x＋6
C. y＝－2x2－4x－6
D. y＝x2－2x＋6
2. (北师九下习题改编)已知二次函数值的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
y … 0 1 0 －3 －8 －15 …
则此函数的表达式为(　　)
A. y＝－x2－2x＋3 B. y＝－x2－4x－3
C. y＝x2＋2x－3 D. y＝－x2＋2x－3
3. 有3个二次函数，甲：y＝(x＋1)2－2；乙：y＝－(x＋1)2＋2；丙：y＝(x＋1)2.则下列叙述中不正确的是(　　)
A. 甲的图象关于x轴对称后，可以与乙的图象重合
B. 甲的图象向下平移2个单位后，可以与丙的图象重合
C. 乙的图象关于直线y＝1对称后，可以与丙的图象重合
D. 乙的图象关于x轴对称后，再向上平移2个单位，可以与丙的图象重合
4. 新考法　结论开放(2025广东省卷)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
5. (2025上海改编)抛物线y＝3x2先向下平移2个单位，再向左平移5个单位所得的抛物线表达式为 .
6. 若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”.现将抛物线C1：y＝(x－2)2－4向右平移m(m＞0)个单位长度后得到新的抛物线C2，若(4，n)为“平衡点”，则m的值为 .
7. (人教九下习题改编)如图，二次函数y＝ax2＋ax－4与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于A，B两点.已知OB＝2OA，求此抛物线关于y轴对称的顶点坐标和表达式.
第7题图
8. (2025郑州二七区二模节选)已知题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数表达式为y＝x2＋2x－3.题目为：已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，－3)，B(1，0)，，求抛物线L的函数表达式.
(1)请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
(2)将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位得到抛物线L1.若抛物线L1的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L上，求m的值.
参考答案
1. A　【解析】设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题图可知，当x＝0时，y＝6，∴抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋6，又∵抛物线过(－1，0)，(3，0)，∴，解得，∴二次函数的表达式为y＝－2x2＋4x＋6.
一题多解法
由题图知，抛物线过(－1，0)，(0，6)，(3，0)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－3)(x＋1)，将(0，6)代入，得6＝－3a，解得a＝－2，∴抛物线的表达式为y＝－2(x－3)(x＋1)＝－2x2＋4x＋6.
2. B　【解析】由表格得该二次函数图象的顶点坐标为(－2，1)，则可设这个二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋1，将(0，－3)代入，得a(0＋2)2＋1＝－3，解得a＝－1，∴函数的表达式为y＝－(x＋2)2＋1，即y＝－x2－4x－3.
3. B
4. y＝－x2＋1(答案不唯一)　【解析】∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，且不经过(0，0)，得，∴－c＋b＋1＝0，∴b＝c－1，∴二次函数为y＝－x2＋(c－1)x＋c，∵c≠0，∴c可以取1，当c＝1时，二次函数为y＝－x2＋1.
5. y＝3x2＋30x＋73　【解析】∵抛物线y＝3x2向下平移2个单位，∴y＝3x2－2，又∵再向左平移5个单位，∴y＝3(x＋5)2－2＝3x2＋30x＋73.
6. 4　【解析】根据题意，将(4，n)代入抛物线C1：y＝(x－2)2－4，得n＝(4－2)2－4＝0，∴“平衡点”为(4，0).将抛物线C1：y＝(x－2)2－4向右平移m(m＞0)个单位得到新抛物线C2：y＝(x－2－m)2－4.将(4，0)代入新抛物线C2，得0＝(4－2－m)2－4，解得m＝4或m＝0(舍去).
7. 解：∵二次函数y＝ax2＋ax－4与y轴负半轴交于点B，
∴B(0，－4)，∴OB＝4，
∵二次函数与x轴负半轴交于点A，且OB＝2OA，∴OA＝2，
∴A(－2，0)，
将点A(－2，0)代入y＝ax2＋ax－4中，得a＝2，
∴抛物线的表达式为y＝2x2＋2x－4＝2－，
∴此抛物线关于y轴对称的顶点坐标为(，－)，表达式为y＝2－.
8. 解：(1)抛物线经过点Q(－3，0)(答案不唯一)；【解法提示】根据抛物线y＝x2＋2x－3，令x2＋2x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∴可以添加条件抛物线经过点Q(－3，0).
(2)∵抛物线L：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位得到抛物线L1：y＝(x＋1)2＋(m－4)，
∴其顶点坐标为(－1，m－4)，
∴其关于原点的对称坐标为(1，4－m)，
∵抛物线L1的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L上，
∴代入表达式y＝(x＋1)2－4得，
4－m＝(1＋1)2－4，解得m＝4.

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