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专题21　一般三角形及其性质
基础巩固
1. (人教八上习题改编)如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，其中运用的数学原理是(　　)
第1题图
A. 三角形具有稳定性
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的两边之和大于第三边
2. (2025南充)如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是(　　)
第2题图
A. 120° B. 130°
C. 140° D. 150°
3. (2025连云港)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(　　)
A. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，5，8 D. 4，5，10
4. (北师七下习题改编)在△ABC中，∠A＝10°，∠B＝60°，则△ABC的形状是(　　)
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，则∠EAC的度数为(　　)
第5题图
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
6. (2025齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是(　　)
第6题图
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 80°
7. (2025广东省卷)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　)
第7题图
A. 20° B. 40°
C. 70° D. 110°
8. (2025福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°. 当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　　)
第8题图
A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
9. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为(　　)
第9题图
A. 10 B. 12 C. 14 D. 15
10. (北师八下习题改编)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AE是它的中线，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则ED长为(　　)
第10题图
A. B.
C. D.
11. 如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，E是BD的中点，连接CE，若S△BCE＝2，则S△ABD＝ .
第11题图
12. (人教八上习题改编)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，则的值为 .
第12题图
13. 已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，若BD＝3，CD＝1，则DE的长为 .
14. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，连接AD，BE＝AC.求证：AD⊥BC.
第14题图
综合训练
15. (2025成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为.
第15题图
16. 新考法　真实问题情境[2019河南23(2)题考法]已知A，B，C村庄的位置如图所示，若在村庄A和村庄B，村庄A和村庄C之间要修一条火车道，使得A，B，C村庄到火车道的垂直距离相等，这条火车道应该如何设计.
第16题图
参考答案
1. A
2. D　【解析】直角三角板含60°角，则另一个锐角为30°，∴∠α＝180°－30°＝150°.
3. B　【解析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可判断A选项中1＋2＝3，不符合题意；B选项中2＋3＞4，且4－3＜2，符合题意；C选项中3＋5＝8，不符合题意；D选项中5＋4＜10，不符合题意.
4. A　【解析】∵∠A＝10°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－10°－60°＝110°，∴△ABC是钝角三角形.
5. B　【解析】∵AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝20°，∴∠BAC＝2∠DAC＝40°，∴∠FAC＝140°，∴∠EAC＝∠FAC＝70°.
6. C　【解析】如解图，根据题意可知，∠ABC＝60°，∵∠1＝50°，∴∠DEB＝∠1＝50°，∴∠2＝180°－∠ABC－∠DEB＝70°.
第6题解图
7. C　【解析】∵点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∴DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∵∠A＝70°，∴∠EDF＝70°.
8. B　【解析】∵∠B＝45°，∴∠BCA＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝45°，由三角形的内角和，可得∠ADE＝180°－∠DAE－∠AED＝180°－45°－(180°－60°)＝15°.
9. C　【解析】如解图，连接DC，∵AD，CD，AC是△ACD的三条边，∴AD＋DC≥AC，∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，AC＝9，∴DC＝BD，∴△ABD的周长＝AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC≥AB＋AC＝5＋9＝14，∴△ABD周长最小值为14.
第9题解图
10. C　【解析】如解图，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG＝DH，∴＝＝，∴＝，∵BC＝7，∴BD＝，∵AE是△ABC的中线，BC＝7，∴BE＝，∴DE＝BD－BE＝－＝.
第10题解图
11. 4　【解析】∵E是BD的中点，∴S△CDE＝S△BCE＝2，∴S△BCD＝4，∵BD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△BCD＝4.
12. 　【解析】∵AB＝8，BC＝6，AB，BC边上的高分别为CE，AD，∴S△ABC＝AB·CE＝BC·AD，∴×8CE＝×6AD，∴＝＝.
13. 1或2　【解析】如解图①，∵BD＝3，CD＝1，∴BC＝4，∵AE是△ABC的中线，∴EC＝BC＝2，∴DE＝EC－DC＝1；如解图②，∵BD＝3，CD＝1，∴BC＝2，∵AE是△ABC的中线，∴EC＝BC＝1，∴DE＝EC＋DC＝2，综上所述，DE的长为1或2.
第13题解图
14. 证明：如解图，连接AE，
第14题解图
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴BE＝AE，
∵AC＝BE，
∴AC＝AE，
∴△ACE为等腰三角形，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC.
15. 　【解析】如解图，连接AD，CD，记AC与BD交于点O，由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，∴AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝，∵S△ABC＝AC·OB＝AB·BC，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝.
第15题解图
16. 解：这条火车道应该建在△ABC的中位线所在直线上，如解图，这条火车道即直线l.
第16题解图

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