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专题22　特殊三角形及其性质
基础巩固
1. (北师八下习题改编)以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是(　　)
A. 1，1，2 B. 1，1，3
C. 2，2，1 D. 2，2，5
2. (2025安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(　　)
第2题图
A. 4 B. 6
C. 2 D. 3
3. (2025鹤壁模拟)如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高线，AE∥BD，且AE交CB的延长线于点E.若∠BAC＝70°，则∠AEC的度数为(　　)
第3题图
A. 30° B. 20°
C. 35° D. 25°
4. (人教八上习题改编)将两个直角三角板按如图位置摆放，∠BOC＝30°，∠ABO＝45°，BC＝2，则AB的长为(　　)
第4题图
A. 4 B. 4 C. 4 D. 4
5. 如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，AD＝AC，连接CD，则∠BCD等于(　　)
第5题图
A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30°
6. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的角平分线.若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为(　　)
第6题图
A. 70° B. 75° C. 85° D. 125°
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，CH⊥BE于点H，若AC＝6，则CH的长为(　　)
第7题图
A. 3 B. C. 2 D.
8. (北师八上习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝8，D是AC上一点，连接BD，∠BDC＝2∠A，E是BD的中点，连接CE，则△BCE的面积是(　　)
第8题图
A. 3 B. 12 C. 24 D. 32
9. (2025陕西)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　)
第9题图
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
10. (2025连云港)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为 m.
第10题图
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，DE垂直平分AC，连接CD，则图中等腰三角形的个数为 个.
第11题图
12. (2025扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°. 若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 .
第12题图
13. (2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝ .
第13题图
14. (北师八下习题改编)如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且AD＝BE＝CF.求证：DF＝DE.
第14题图
15. (2025福建)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G.
第15题图
(1)求∠DCE的大小；
(2)求证：△CEG是等边三角形.
综合训练
16. 新考法　新定义(2025焦作模拟)如图①，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形.如图②，在△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点，M，N分别为AB，AC边上的动点，连接MP，MN，PN.已知AB＝10，BC＝12，若四边形AMPN为对等四边形，则MN的最小值为(　　)
第16题图
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
17. (2025濮阳一模)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC上一点，把△BDC沿BD折叠，点C对应点E，连接AE，若△ADE为直角三角形，则DC＝ .
第17题图
参考答案
1. C　【解析】∵1＋1＝2，∴本组数据不可以构成等腰三角形，故A选项不符合题意；∵1＋1＜3，∴本组数据不可以构成等腰三角形，故B选项不符合题意；∵1＋2＞2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形，故C选项符合题意；∵2＋2＜5，∴本组数据不可以构成等腰三角形，故D选项不符合题意.
2. B　【解析】由题意易得∠C＝30°，∠EDC＝90°，∴在Rt△DEC中，CD＝＝3，又∵D为AC的中点，∴AC＝2CD＝6.
3. C　【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×(180°－70°)＝55°，∵BD为AC边上的高线，∴∠BDC＝90°，∴∠CBD＝90°－55°＝35°，∵AE∥BD，∴∠AEC＝∠CBD＝35°.
4. C　【解析】∵∠BOC＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴OB＝2BC＝4，∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝＝4.
5. C　【解析】等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝×(180°－45°)＝67.5°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝22.5°.
6. B　【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠B＝＝70°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝35°，∵∠BEC是△ACE的一个外角，∴∠BEC＝∠A＋∠ACE＝75°.
7. D　【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵AC＝6，∴BC＝AC·tan 30°＝2，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠CBH＝∠ABC＝30°，∵CH⊥BE，∴CH＝BC＝.
8. B　【解析】∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∠BDC＝2∠A，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，设AD＝BD＝x，∵AC＝16，∴CD＝AC－AD＝16－x，∵∠ACB＝90°，BC＝8，∴BD2＝CD2＋BC2，即x2＝(16－x)2＋82，解得x＝10，∴CD＝16－x＝16－10＝6，∴S△BDC＝×6×8＝24，∵E是BD的中点，∴S△BCE＝S△BDC＝×24＝12.
9. C　【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A＋∠ADE＝90°，即∠A与∠ADE互余，DE∥BC，∵CD为AB边上的中线，∴AD＝BD＝CD，∵DE⊥AC，∴∠CDE＝∠ADE，即∠A与∠CDE互余，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠DCB，即∠A与∠DCB互余，综上所述，与∠A互余的角有∠B，∠ADE，∠CDE，∠DCB，共4个.
10. 2.4　【解析】根据勾股定理得，h＝＝2.4(m).
11. 3　【解析】∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴△ACD是等腰三角形，∵∠B＝72°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝72°，∠A＝180°－2×72°＝36°，∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝36°，∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝36°，∴∠BDC＝180°－∠DCB－∠B＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴△BCD是等腰三角形.综上所述，△ABC，△ACD，△BCD是等腰三角形.
12. 6　【解析】∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，AC＝4，∴DE＝AC＝2，∵∠BFC＝90°，BC＝8，∴EF＝BC＝4，∴DF＝DE＋EF＝6.
13. －1　【解析】如解图，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD＝CD，∴H为BC的中点，∴BH＝BC＝1，∵AB＝AC，BD＝CD，∴A，D，H三点均在BC的垂直平分线上，∴A，D，H三点共线，∴DH＝＝1，AH＝＝，∴AD＝AH－DH＝－1.
第13题解图
14. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°.
∵AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD.
在△ADF和△BED中，，
∴△ADF≌△BED(SAS)，
∴DF＝ED.
15. (1)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
∵ D 是AB的中点，
∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝30°.
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝90°－30°＝60°；
(2)证明：由平移可知，CD∥EF，
∴∠EAC＝∠DCA＝30°，
又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，∠AEC＝120°，
∵AB＝CB，
∴BE垂直平分AC，
∴∠GEC＝∠AEC＝60°，
由(1)知，∠GCE＝60°，
∴∠EGC＝60°，
∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC＝60°，
∴△CEG是等边三角形.
16. B　【解析】如解图，连接AP，作AP'⊥BC于点P'，∵AB＝AC，∴P'是BC的中点，∵四边形AMPN为对等四边形，∴AP＝MN，∴当AP最小时，MN也最小，∵P为BC边上一动点，∴当点P与点P'重合，即AP⊥BC时，AP最小，最小值为AP'的长，∵BC＝12，∴BP'＝CP'＝6，在Rt△ABP'中，AP'＝＝＝8，∴MN的最小值为8.
第16题解图
17. 或3　【解析】①当∠ADE＝90°时，如解图①，根据折叠的性质可知△BDC≌△BDE，∴∠C＝∠BED＝∠EDC＝90°，CD＝ED，∴四边形BCDE为正方形，∴CD＝BC＝3；②当∠DEA＝90°时，如解图②，由①知△BDC≌△BDE，∴∠BED＝∠C＝90°＝∠DEA，BE＝BC＝3，DE＝CD，∴A，E，B三点共线，在Rt△ABC中，AB＝＝5，∴AE＝AB－BE＝2，设CD＝DE＝x，则AD＝AC－CD＝4－x，在Rt△AED中，AE2＋DE2＝AD2，∴22＋x2＝(4－x)2，解得x＝，综上所述，DC的长为3或.
第17题解图

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