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专题24　相似三角形
基础巩固
1. (2025云南)如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC.若＝，则＝(　　)
第1题图
A. B. C. D.
2. (2025绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是(　　)
A. 14 cm B. 18 cm
C. 30 cm D. 34 cm
3. (2025河北)如图， 在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　　)
第3题图
A. ∠B＋ ∠4＝180°
B. CD∥AB
C. ∠1＝∠4
D. ∠2＝∠3
4. 如图，点A，B，C，D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则OC的长等于(　　)
第4题图
A. 1.5 B.
C. D.
5. 如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，若∠DAC＝30°，则的值为(　　)
第5题图
A. B.
C. D.
6. 如图，E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连接AC，BE交于点O，过点O作OF∥AB交BC于点F，若AB＝4，则OF的长度是(　　)
第6题图
A. B.
C. D.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E是AC的中点，连接DE，且DE＝BC，CD＝2，则AD＝(　　)
第7题图
A. 4 B. 2
C. 4 D. 2
8. (2025济源一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AB'C'D'，此时B'C'恰好经过点D，连接BB'，则BB'的长为(　　)
第8题图
A. B. 3
C. D.
9. (2025陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF面积为(　　)
第9题图
A. 10 B. 8 C. 5 D. 4
10. 如图，已知△ABC∽△ACD，∠A＝80°，∠ADC＝60°，则∠B＝ .
第10题图
11. (2025甘肃省卷)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技法被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3∶1，如果小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm.
第11题图
12. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD为 .
第12题图
13. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F均在BC上，连接AE，AF，AE＝AF，∠EAF＝60°. 求证：△ABE∽△CAF.
第13题图
综合训练
14. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AF⊥DE，垂足为点F.如果AF＝2，BC＝6，△ABC的面积为9，那么△ADE的面积为 .
第14题图
15. (2025漯河模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝3，D是边AC上一动点，连接BD，以BD为直角边按如图所示的方向作Rt△DBE，使得∠DBE＝90°，且BE∶BD＝1∶，F是边BC上的一点，BF＝，连接EF，则BE的长的最小值为 ，EF的长的最小值为 .
第15题图
参考答案
1. A　【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝.
2. B　【解析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48－x)cm，∵两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，∴x∶(48－x)＝6∶10，解得x＝18，即较小三角形的周长为18 cm.
3. D　【解析】∵∠B＋∠4＝180°，∴CD∥BM，∴∠CDN＝∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∴△MAE∽△DCN，故A选项不符合题意；∵CD∥AB，∴∠CDN＝∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∴△MAE∽△DCN，故B选项不符合题意；∵∠1＝∠4，∴∠MAE＝∠DCN，∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∴△MAE∽△DCN，故C选项不符合题意；根据∠2＝∠3结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN，故D选项符合题意.
4. D　【解析】如解图，取格点F，连接CF，AB，DC，则AB＝2，DC＝3，∵∠BFC＝90°，BF＝1，CF＝3，∴BC＝＝＝，∵AB∥DC，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝，∴OC＝BC＝BC＝.
第4题解图
5. D　【解析】如解图，设AC，BD交于点E，∵∠ADE＝∠BCE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∴∠CBE＝∠DAE＝30°，∴＝＝，又∵∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴＝＝＝.
第5题解图
6. D　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝4，∵OF∥AB，∴OF∥AB∥CD，∴△CFO∽△CBA，△BFO∽△BCE，∴＝①，＝②，∵E为CD中点，∴CE＝2，①＋②得，＋＝＋＝1，解得OF＝.
7. A　【解析】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AC，∵BC＝DE，∴BC＝AC，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴AC∶CB＝AD∶CD＝2，∵CD＝2，∴AD＝4.
8. D　【解析】如解图，连接DD'，由题意可得，AB'＝D'C'＝AB＝6，∠C'＝∠AB'C'＝∠BAD＝∠B'AD'＝90°，AD＝AD'＝B'C'＝BC＝10，∴∠BAB'＝∠DAD'，＝，∴△ABB'∽△ADD'，∴＝，在Rt△AB'D中，B'D＝＝8，∴DC'＝B'C'－B'D＝2，∴在Rt△D'C'D中，DD'＝＝2，∴＝，∴BB'＝.
第8题解图
9. C　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝2，在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝＝2，∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠BEC＋∠AEF＝90°，∴∠AFE＝∠BEC，∴△AEF∽△BCE，∴＝，即＝，解得EF＝，∴S△CEF＝EF·CE＝5.
10. 40°　【解析】∵∠A＝80°，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝40°，∵△ABC∽△ACD，∴∠B＝∠ACD＝40°.
11. 195　【解析】∵小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm，∴小风筝两条对角线长的和为30＋35＝65(cm)，∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3∶1，∴大风筝和小风筝相似，相似比为3∶1，∴大风筝两条对角线长的和∶小风筝两条对角线长的和＝3∶1，∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195(cm).
12. 2　【解析】如解图，记AC与EF相交于点H，由平移的性质，得AH∥DF，AD＝BE，∴△EAH∽△EDF，∴＝()2，∴()2＝，∴＝，设EA＝2x，则ED＝3x，∴AD＝x，∴BE＝x，∵AB＝6，∴2x＋x＝6，∴x＝2，即AD＝2，∴△DEF移动的距离AD为2.
第12题解图
13. 证明：∵∠EAF＝60°，AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴∠AEB＝∠CFA＝120°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝60°，
∵∠AEF＝∠BAE＋∠B＝60°，
∴∠BAE＝∠C，
∴△ABE∽△CAF.
14. 4　【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵△ABC的面积为9，∴BC·AH＝9，∵BC＝6，∴AH＝3，∵AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AHB＝90°，∵∠AED＝∠B，∴△AFE∽△AHB，∴＝，∵AF＝2，∴＝，∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴＝()2，∴＝，∴S△ADE＝4.
第14题解图
15. ，3　【解析】如解图，连接AE并延长，交CB的延长线于点G，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∴BC＝AB＝3，AC＝2AB＝6，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠EBA＋∠ABD＝∠ABD＋∠DBC，∴∠EBA＝∠DBC，∵＝＝，∴△ABE∽△CBD，∴∠BAE＝∠C＝30°，∴当点D在边AC上运动时，点E也随之在边AG上运动，当BE⊥AG时，BE的值最小，在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝，当EF⊥AG时，EF的值最小，在Rt△ABG中，∠BAE＝30°，BG＝AB＝，∴CG＝BC＋BG＝4，GF＝BG＋BF＝2，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，∵∠BAE＝30°，∴∠CAE＝90°，∴EF∥AC，∴△GEF∽△GAC，∴＝，即＝，解得EF＝3.
第15题解图

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