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第五章　四边形
专题27　平行四边形及矩形(含多边形)
基础巩固
1. (2025洛阳西工区一模)如图，洛阳明堂的底部是一个正八边形造型，其每个内角的度数为(　　)
第1题图
A. 120° B. 135° C. 108° D. 150°
2. (2025漯河一模)如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O.若OC＝5，则BD的长为　(　　)
第2题图
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 12.5
3. (北师八下习题改编)如图，在 ABCD中，∠A＋∠C＝160°，则∠B的度数为(　　)
第3题图
A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°
4. (2025湖北省卷)如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(－1，2)，则点C的坐标是(　　)
第4题图
A. (2，－1) B. (－2，1)
C. (1，－2) D. (－1，－2)
5. (2025德阳)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　)
第5题图
A. AB∥CD
B. AB＝BC
C. ∠B＝∠D
D. AC＝BD
6. (2025山西)如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是(　　)
第6题图
A. OE＝AD B. OE＝BC
C. OE＝AB D. OE＝AC
7. (2024辽宁)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为(　　)
第7题图
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
8. (2025安徽)在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　)
第8题图
A. 四边形EFGH的周长
B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积
D. 线段FH的长
9. (2025扬州)若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 .
10. (2025新疆)如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD＝2，则BE＝ .
第10题图
11. (2025甘肃省卷)如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形.若AB＝6 cm，则AD＝ cm.
第11题图
12. (2025开封一模)如图，两张宽度为1∶2的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，重合部分构成的平行四边形ABCD的周长为12 cm，则该平行四边形ABCD的面积为 cm2.
第12题图
13. 如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2AD.
第13题图
(1)用无刻度的直尺和圆规过点B作CD的垂线，交CD于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接BD，若∠ADB＝90°，AB＝12，求BE的长.
综合训练
14. (2025郑州二模)在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12.
(1)如图①，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积平分，并说明理由；
(2)如图②，若点E为对角线AC上一点，且AE＝AC，点F为边AB上一点，作直线EF交边AD于点G，直接写出△AFG面积的最小值.
第14题图
参考答案
1. B　【解析】正八边形每个内角的度数为＝135°.
2. C　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2CO＝2×5＝10，即BD的长为10.
3. B　【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A＝×160°＝80°，∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝180°－80°＝100°.
4. C　【解析】∵平行四边形ABCD的对角线交点在原点，∴由平行四边形性质可得点A与点C关于坐标原点O中心对称，∵点A的坐标是(－1，2)，∴点C的坐标是(1，－2).
5. D　【解析】A.∵平行四边形本身就有AB∥CD的性质，∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误；B.∵AB＝BC，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件，∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误；C.∵平行四边形本身就有∠B＝∠D的性质，∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误；D.∵矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形ABCD中AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，该选项正确.故选D.
6. C　【解析】∵O是AC的中点，E是AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴OE＝AB.
7. C　【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AC＝3，BD＝5，∴OD＝，OC＝，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∴四边形OCED的周长为2(OD＋OC)＝8.
8. C　【解析】如解图，连接EG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝BC，AD∥BC，∵E，G分别为边AD，BC的中点，∴AE＝CG.又∵AF＝CH，∴△AEF≌△CGH，∴EF＝GH，同理可证EH＝GF，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AE∥BG，且AE＝BG，∴四边形ABGE为平行四边形，∴S△EFG＝S四边形EFGH＝S四边形ABGE＝S四边形ABCD，∴S四边形EFGH＝S四边形ABCD，∴四边形EFGH的面积为定值，其余选项皆随F，H点的变化而变化，故选C.
第8题解图
9. 9
10. 2　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝2，∴BC＝AD＝2，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝2.
11. 12　【解析】∵△CDE为等边三角形，∴∠DEC＝∠D＝60°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，CD＝AB＝6 cm，由折叠可得，∠B＝∠B'＝60°，AB＝AB'＝6 cm，又∵∠AEB'＝∠CED＝60°，∴△AEB'为等边三角形，∴AE＝AB'＝6 cm，∵CD＝AB'，∴△AEB'≌△DEC，∴ED＝AE＝6 cm，∴AD＝12 cm.
12. 4　【解析】如解图，过点D作DE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，则∠DEC＝∠CFB＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∴△DCE∽△CBF，∴＝，∵两张宽度为1∶2的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，重合部分构成的平行四边形ABCD的周长为12 cm，∴＝＝2，∴CD＝2BC，∠DCE＝60°，AB＝CD，AD＝BC，∵CD＋BC＝×12＝6(cm)，∴2BC＋BC＝6 cm，∴BC＝2 cm，CD＝4 cm，∵∠CDE＝90°－∠DCE＝30°，∴CE＝CD＝×4＝2(cm)，∴DE＝＝＝2(cm)，∴S ABCD＝BC·DE＝2×2＝4(cm2).
第12题解图
13. 解：(1)如解图①所示，BE即为所求作(作法不唯一)；
第13题解图
解法一：如解图②，BE即为所求作；
(2)∵∠ADB＝90°，AB＝2AD＝12，
∴BD＝6.
由(1)可知BE是CD的垂线，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝12，
∴S ABCD＝AD·BD＝CD·BE＝6×6＝12BE，
解得BE＝3，
∴BE的长为3.
解法二：∵∠ADB＝90°，AB＝2AD＝12，
∴BD＝6，
在 ABCD中，DC∥AB，
∴∠EDB＝∠DBA.
∵BE⊥DC，
∴∠BED＝90°＝∠ADB，
∴△ADB∽△BED，
∴＝，即＝，
∴BE＝3.
14. 解：(1)如解图①，直线MN即为所求.
理由：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC，
∴∠ANO＝∠CMO，
∵∠AON＝∠COM，
∴△AON≌△COM(AAS)，
同理△DON≌△BOM(AAS)，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴S△AON＝S△COM，S△DON＝S△BOM，S△AOB＝S△COD，
∴S四边形NABM＝S四边形MCDN；
第14题解图①
(2)△AFG面积的最小值为9.
【解法提示】如解图②，过点E作ET⊥AB于点T，设AF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，即BC⊥AB，DA⊥AB，∴ET∥BC，ET∥AD，∴△AET∽△ACB，△FET∽△FGA，∴＝＝，＝，∴＝＝，∴AT＝，ET＝3，∴FT＝x－，∵＝，∴＝，∴AG＝，设△AFG面积为y，∴y＝AF·AG＝x·，整理得3x2－2yx＋3y＝0，∵关于x的一元二次方程有解，∴Δ＝(－2y)2－4×3×3y≥0，∴y(y－9)≥0，∵y＞0，∴y－9≥0，∴y≥ 9，∴△AFG面积的最小值为9.
第14题解图②

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