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专题28　菱形及正方形(含中点四边形)
基础巩固
1. (人教八下习题改编)下列关于正方形判定的说法中不正确的是(　　)
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
2. (2025湖南省卷)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　)
第2题图
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
3. (人教八下习题改编)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)
第3题图
A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°
4. (2025泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直
D. 对角相等
5. (2024陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　)
第5题图
A. 2 B. 3 C. D.
6. (2025郑州外国语一模)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为(　　)
第6题图
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
7. (2025自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A'B'C'D'.则点D'的坐标为(　　)
第7题图
A. (－3，5) B. (5，－3)
C. (－2，5) D. (5，－2)
8. (2025洛阳一模)图①是两个完全相同的含30°角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右上方移动，当四边形ABCD是菱形(如图②)，且长直角边AB＝3时，平移距离BF的长是(　　)
第8题图
A. B. 1 C. D.
9. 新考法　条件开放如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD为菱形.
第9题图
(2025上海)在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，连接BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB∶AD的值为 .
第10题图
11. (2025北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为 .
第11题图
(2025辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为 .
第12题图
13. (北师九上习题改编)如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍.(无需说明理由)
第13题图
14. (2025扬州)如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
第14题图
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长.
综合训练
(2025许昌二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点G为边AB上的动点(不与点A，B重合)，将△ADG沿DG折叠，点A的对应点为点H，连接BH，CH，若△BCH为等腰三角形，则AG的长为 .
第15题图
16. (2025福建)[2025河南19题考查间接作图]如图，矩形ABCD中，AB＜AD.
第16题图
(1)求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AB＝2，AD＝4，求(1)中所作的正方形的边长.
参考答案
1. D　【解析】A.一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意；C.对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；D.一个角是直角的平行四边形是正方形，错误，符合题意.应该是一个角是直角的菱形是正方形.
2. C　【解析】∵对角线AC与BD互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形，∵AB＝3，∴四边形ABCD的周长为3×4＝12.
3. C　【解析】四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA＝70°.
4. A　【解析】菱形四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角.矩形的对角线相等.故A选项符合题意.
5. B　【解析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF，得△ADH∽△FGH，得DH∶HG＝AD∶GF＝6∶2＝3∶1，由DG＝6－2＝4，得DH＝4÷(1＋3)×3＝3.
6. B　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝AC·BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5.
7. A　【解析】∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A'B'C'D'，B(0，－2)，∴AB＝BC＝A'B'＝B'C'＝C'D'＝5，OB＝OB'＝2，A'B'在x轴上，A'B'∥C'D'，∴B'(2，0)，C'(2，5)，∴D'(－3，5).
8. D　【解析】∵tan ∠ABE＝tan 30°＝＝＝，∴AE＝，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABE＝30°，∴∠BAD＝180°－30°－30°＝120°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝120°－90°＝30°，∴∠DAE＝∠ADE，∴DE＝AE＝，∴平移距离BF的长等于DE的长是.
9. AC⊥BD(答案不唯一)
10. 　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°，AB＝CD.∵四边形AFEB是菱形，∴AB＝CD＝AF＝EF.设AB＝2m，∴AB＝AF＝EF＝2m.∵E关于直线AD的对称点为F，∴DF＝DE＝EF＝AF＝m，∠ADF＝90°，∴∠FAD＝30°，∴AD＝m，∴AB∶AD＝2m∶m＝.
11. 　【解析】如解图，过点F作FN∥BC交AB于点N，∵四边形ABCD是正方形，∠EBC＝30°，CF⊥BE，∴BC＝AB＝1，∴在Rt△BFC中，BF＝BC·cos ∠FBC＝1×cos 30°＝.∵FN∥BC，∴∠FNB＝180°－∠ABC＝90°，∠NFB＝∠EBC＝30°，∴在Rt△BNF中，NF＝BF·cos ∠NFB＝×cos 30°＝，∴S△ABF＝AB·NF＝×1×＝.
第11题解图
12. 　【解析】∵四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，AO＝CO＝4，BO＝6，又∵AE＝2，∴OE＝OA－AE＝2，∴EF＝EO＋OF＝3，又∵EC＝EO＋CO＝6，∴F为EC的中点.在△EBC中，G为BE的中点，F为EC的中点，∴FG为△EBC的中位线，FG＝BC.在Rt△BOC中，BC＝＝＝2，∴FG＝BC＝.
13. 解：如解图所示，矩形EFGH即为所求.
第13题解图
【解法提示】连接AC，BD交于点O，分别过点A，C作BD的平行线，过B，D作AC的平行线，则所围成的四边形EFGH为所求.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD∥FG，EF∥AC∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形，且EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形.易知AEBO是矩形，∴四边形AEBO的面积是△ABO面积的2倍，同理，四边形AODH是△AOD面积的2倍，四边形BOCF是△BOC面积的2倍，四边形OCGD是△OCD面积的2倍，∴四边形EFGH的面积是菱形ABCD面积的2倍.
14. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，EA＝EC，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EA＝EC，
∴四边形AFCE是菱形；
(2)解：如解图，
第14题解图
∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2，
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD＝3，
∴△CBA∽△CDE，
∴＝，∴＝，
解得DE＝.
15. 8－4或　【解析】由题意可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，如解图，过点H作BC的平行线交AB于点K，交CD于N，过点H作HM⊥BC，垂足为M，∴四边形BCNK，BMHK，ADNK是矩形，∴KB＝HM＝NC，BM＝KH，CM＝HN，AK＝DN，①当BH＝CH时，如解图①，∵HM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，∴HN＝KH＝2，由折叠易得DH＝AD＝4，AG＝GH，∴DN＝＝2，∴AK＝2，在Rt△GHK中，KG2＋KH2＝GH2，∴＋22＝AG2，解得AG＝；②当CH＝BC时，如解图②，由题意可得DH＝AD＝4，∴DH＝CH，∵HN⊥CD，∴DN＝NC＝CD＝2，∴HN＝＝＝2，∴KH＝KN－HN＝4－2，∵AK＝DN＝2，KG2＋KH2＝GH2，∴(2－AG)2＋＝AG2，∴AG＝8－4；③当BH＝BC时，H和C，不符题意，舍去，综上所述，AG的长为8－4或.
第15题解图
16. 解：(1)如解图，四边形EFGH即为所求作的正方形；
【作法提示】作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE长为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可.
第16题解图
(2)∵四边形EFGH是正方形，∴OE＝OG.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴＝＝1，∴OB＝OD.
在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝4，
∴BD＝＝2，
∴OD＝BD＝.
∵四边形EFGH是正方形，
∴EG⊥FH，
∴∠DOE＝∠DAB＝90°.
又∵∠ODE＝∠ADB，
∴△EOD∽△BAD，
∴＝，即＝，
∴OE＝，
在Rt△EOH中，OE＝OH，
∴EH＝OE＝，
即正方形EFGH的边长为.

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