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专题30　圆的基本性质
基础巩固
1. (2025重庆)如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(　　)
第1题图
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
2. (2025郑州一模)如图，点A，B，C，D在☉O上，连接AB，AC，AD，BD，CD，若AB＝CD，则下列结论错误的是(　　)
第2题图
A. ＝ B. AC＝BD
C. AD＝BD D. ∠ADC＝∠BAD
3. 如图，AB是☉O的直径，点C，D为☉O上的两点，∠BAC＝50°，连接BC，AD，CD，∠D的度数为(　　)
第3题图
A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
4. (2025长沙)如图，AC，BC为☉O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为(　　)
第4题图
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
5. (2025新疆)如图，CD是☉O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝(　　)
第5题图
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
6. (2025漯河模拟)如图，在☉O中，AB是直径，＝＝，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为(　　)
第6题图
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
7. (2025甘肃省卷)如图，四边形ABCD内接于☉O，＝，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为(　　)
第7题图
A. 20° B. 35° C. 55° D. 70°
8. (2025驻马店一模)如图，圆O是△ABC的外接圆，已知AB＝，∠C＝45°，则圆O的半径OA的长为(　　)
第8题图
A. B. 1 C. D. 2
9. (2025陕西)如图，AB为☉O的直径，＝，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 .
第9题图
如图，在正n边形中，∠1＝40°，则n的值是 .
第10题图
11. 某同学观察家中桌面上的绣品摆件(如图①)，发现是由圆的绣面和一段劣弧支架组成，外部框架关于两圆圆心所在直线对称，结构示意图如图②所示，通过测量得知，AB长9.6 cm，绣面(圆)最高点E到桌面距离EN为20.6 cm，到劣弧AB最高点M的距离EM为17 cm，则支架劣弧AB所在圆的半径是 cm.
第11题图
12.如图，海边立有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是☉O的一部分)区域内，∠AOB＝80°.为了避免轮船P触礁，轮船P所在的位置与两座灯塔A，B的视角∠APB度数的最大值是 .
第12题图
13. (2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
第13题图
(1)求证：OC∥AD；
(2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长.
综合训练
14. [2024河南15题考查填空双空题]如图，
　第14题图
P是☉O中一点，☉O的半径R＝5，d＝OP＝3，则经过P点的最长弦长为 ，最短弦长为 .
15. 新考法数学文化(2025三门峡一模)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知劣弧AB，C是弦AB上一点.
(1)根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法).
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交劣弧AB于点D，交AC于点E；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交劣弧AB于点F(F，A两点不重合)，连接BF；
(2)请连接DA，DC，DF，DB，引理的结论为BC＝BF.请你证明此结论.
第15题图
参考答案
1. B
2. C　【解析】∵AB＝CD，∴＝，故A正确，不符合题意；∴－＝－，即＝，∴AC＝BD，故B正确，不符合题意；∵＝，∴∠ADC＝∠BAD，故D正确，不符合题意；无法证明AD＝BD，故C错误，符合题意.
3. B　【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝90°－50°＝40°，∴∠D＝∠ABC＝40°.
4. C　【解析】∵∠AOB＝40°，∴∠ACB＝∠AOB＝20°，∵∠OCA＝30°，∴∠BCO＝∠OCA＋∠ACB＝50°.
5. C　【解析】如解图，连接BD，∵CD是☉O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∴∠ADC＝∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BDC＝60°.
第5题解图
6. A　【解析】由题意可得，∠AOE＋∠BOE＝180°，∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵＝＝，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠BOE＝×120°＝40°.
7. C　【解析】由题意得，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADB＝∠BDC，∴∠ADC＝180°－70°＝110°，∴∠BDC＝∠ADC＝55°.
8. B　【解析】如解图，连接OB，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，∵AO＝BO，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO2＋BO2＝AB2，即2AO2＝2，解得AO＝1.
第8题解图
9. 66°　【解析】如解图，记AB交CD于点E，∵AB是☉O的直径，＝，∴AB⊥CD，∴∠BED＝90°，∵∠CDB＝24°，∴∠ABD＝90°－∠CDB＝66°，∵＝，∴∠ACD＝∠ABD＝66°.
第9题解图
10. 9　【解析】如解图，设正多边形的中心为O，则∠AOB为中心角，将正n边形看成一个圆，∵∠1＝40°，∴∠BOC＝2∠1＝80°，∴∠AOB＝∠AOC＝40°，∴n＝＝9.
第10题解图
11. 5　【解析】如解图，设P，Q分别为两圆圆心，连接AQ，NQ.由题意可知，MN＝EN－EM＝3.6(cm)，AN＝NB＝AB＝4.8(cm)，AB⊥EQ.设AQ＝r，则NQ＝r－3.6，在Rt△ANQ中，由勾股定理得r2＝4.82＋(r－3.6)2，解得r＝5 cm，∴支架劣弧AB所在圆的半径是5 cm.
第11题解图
12. 40°　【解析】∵海边立有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是☉O的一部分)区域内，∠AOB＝80°，∴当P点在圆上时，不进入经过A，B两点的弓形(弓形的弧是☉O的一部分)区域内，轮船P与A，B的视角∠APB最大，此时∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°，∴视角∠APB度数的最大值是40°.
13. (1)证明：∵∠DAB＋2∠ABC＝180°，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＋∠AOC＝180°，
∴AD∥OC；
(2)解：如解图，连接BD，交OC于点E.
由题意知，∠ADB＝90°，O是AB的中点.
由(1)得，OC∥AD，
∴OC⊥BD，OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AD＝1.
设半圆O的半径为r，则CE＝r－1.
由勾股定理知，OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，
即r2－12＝－(r－1)2，解得r1＝3，r2＝－2(舍去)，
∴AB＝2r＝6.
第13题解图
14. 10，8　【解析】如解图，做直线OP交☉O于A，B两点，过P作CD⊥AB交☉O于C，D两点，∵☉O的半径R＝5，∴AB＝2R＝10，OC＝5，∵OP＝3，∴PC＝4，∴CD＝2PC＝8，则经过P点的最长弦长为10，最短弦长为8.
第14题解图
15. (1)解：作图如解图所示；
第15题解图
(2)证明：由作图可得DE是AC的垂直平分线，DA＝DF，
∴DA＝DC＝DF，
∴∠DAC＝∠DCA，＝，
∴∠DBC＝∠DBF，
∵四边形ABFD是圆的内接四边形，
∴∠DAB＋∠DFB＝180°，
∵∠DCA＋∠DCB＝180°，
∴∠DFB＝∠DCB，
∵DB＝DB，
在△DCB和△DFB中，
∴△DCB≌△DFB(AAS)，
∴BC＝BF.

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