资源简介

专题31　点、直线与圆的位置关系
基础巩固
1. (北师九下练习改编)已知☉O与直线l无公共点，若☉O的直径为10 cm，则圆心O到直线l的距离可以是(　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. (2025郑州二七区一模)如图，在☉O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝60°，则∠AOC的度数为(　　)
第2题图
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 100°
3. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P对应的读数为37°，则∠CBD的度数是(　　)
第3题图
A. 53 B. 43°
C. 37° D. 27°
4. 如图，AB与☉O相切于点B，连接OA交☉O于点C，BD∥OA交☉O于点D，连接CD，若∠OAB＝32°，则∠OCD的度数为(　　)
第4题图
A. 28° B. 29°
C. 30° D. 31°
5. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，连接OD，cos D＝，∠CAB＝30°，若CD＝6，则AC的长为(　　)
第5题图
A. 8 B. 8 C. 10 D. 10
6. (2025福建)如图，PA与☉O相切于点A，PO的延长线交☉O于点C.AB∥PC，且交☉O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　　)
第6题图
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
7. (2025洛阳二模)如图，AB为☉O的直径，PB，PC分别与☉O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交☉O于点D.若CD＝PB＝2，则☉O的半径长为(　　)
第7题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆的半径r为(　　)
第8题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. (2025龙东地区)如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝ .
第9题图
10. (2025安徽)如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为 °.
第10题图
11. (2025浙江)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE.
第11题图
(1)求证：OD⊥OE；
(2)若AB＝BC，OB＝，求四边形ODCE的面积.
12. (2025湖北)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F.过点F作☉O的切线，交CA的延长线于点G.
第12题图
(1)求证：FD＝FG；
(2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径.
综合训练
13. (2025郑州一模)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点.如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过(　　)
第13题图
A. 点(0，3) B. 点(6，0)
C. 点(1，3) D. 点(6，1)
14. (2025郑州管城区一模)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，O为BC上一点，且BO＝3，将线段OB绕点O逆时针旋转(旋转角小于360°)，得到线段OM，连接CM并延长，交直线AB于点P，则AP的最小值为，最大值为 .
第14题图
参考答案
1. A　【解析】∵☉O与直线l无公共点，∴☉O与直线l相离，∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，∵☉O的直径为10 cm，∴☉O的半径为5 cm，∴圆心O到直线l的距离大于5 cm.
2. C　【解析】∵CD为☉O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠OCB＝30°，∵OC＝OB，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°.
3. C　【解析】由题意得，AB与量角器所在的圆相切，∠POB＝37°，∴OP⊥AB，∴∠PBO＝90°－∠POB＝53°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝180°－∠PBO－∠ABC＝37°.
4. B　【解析】如解图，连接OB，∵AB与☉O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－32°＝58°，∴∠BDC＝∠AOB＝29°，∵BD∥OA，∴∠OCD＝∠BDC＝29°.
第4题解图
5. B　【解析】如解图，连接OC，BC，∵CD是半圆的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，∵cos D＝＝，CD＝6，∴OD＝CD＝×6＝10，∴OC＝＝＝8，∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OC＝8，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AC＝BC＝8.
第5题解图
6. C　【解析】如解图，连接OA，OB，∵PA与☉O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠AOP＝90°－∠P＝90°－30°＝60°，∵AB∥PC，∴∠OAB＝∠AOP＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝180°－∠AOP－∠AOB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP＝60°.
第6题解图
7. B　【解析】如解图，连接OD，BD，∵PB，PC分别与☉O相切于点B，C，∴PC＝PB＝2，AB⊥PB，∵AB⊥CD，∴CD∥PB，∵CD＝PB，∴四边形CPBD为平行四边形，∴BD＝PC＝2，∵AB⊥CD，AB为☉O的直径，∴DE＝CD＝，∴在Rt△BDE中，由勾股定理得BE＝＝＝3，在Rt△DOE中，OD2＝OE2＋DE2，即OD2＝(3－OD)2＋，解得OD＝2.
第7题解图
8. B　【解析】如解图，设△ABC的内切圆与AC，BC，AB分别相切于点D，E，F，连接OD，OE，OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，易得四边形CDOE是正方形，∴CD＝CE＝r，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝10，∵BE＝BF＝8－r，AF＝AD＝6－r，∴8－r＋6－r＝10，∴r＝2，∴△ABC的内切圆的半径r为2.
第8题解图
9. 70°　【解析】∵PA是圆O的切线，AC是直径，∴PA⊥AC，即∠PAC＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠PAB＝∠PAC－∠BAC＝55°，∵PA，PB是圆O的切线，∴PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝55°，∴∠P＝180°－∠PBA－∠PAB＝180°－55°－55°＝70°.
10. 20　【解析】如解图，连接OB，∵PB与☉O相切于点B，OB是☉O的半径，∴∠OBP＝90°.∵∠P＝50°，∴∠BOP＝40°，∴∠PAB＝∠BOP＝20°.
第9题解图
11. (1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
由作图可知OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵AC是☉O的切线，E为切点，
∴OE⊥AC，
∴OD⊥OE；
(2)解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△AEO中，
∵OE＝OD＝OB＝，
∴OA＝＝＝2，
AE＝＝＝1，
∴AC＝AB＝OA＋OB＝2＋，
∴EC＝AC－AE＝2＋－1＝1＋，
∴四边形ODCE的面积为OE(OD＋EC)＝××(＋1＋)＝3＋.
12. (1)证明：∵DF经过圆心O，GF是☉O的切线，
∴DF⊥GF，
∵DF⊥AB，
∴AB∥GF，
∴∠G＝∠BAC＝45°，
∴∠FDG＝90°－45°＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FD＝FG；
(2)解：如解图，连接OA，
∵DF⊥AB，DF经过圆心O，
∴AE＝BE＝AB＝6，
由(1)得∠ADE＝∠BAC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝6，
由(1)得FD＝FG＝10，
∴EF＝DF－DE＝10－6＝4，
设OE＝x，则OA＝OF＝OE＋EF＝x＋4，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，
即(x＋4)2＝62＋x2，解得x＝，
∴OA＝x＋4＝＋4＝，
∴☉O的半径为.
第12题解图
13. C　【解析】如解图，取点E(2，0)，连接EA，EB，EC，由勾股定理得EA＝EB＝EC＝＝，∴点E是过整点A，B，C的圆弧所在圆的圆心，EB是该圆的半径，取点F(1，3)，连接EF，作直线BF，∵BE2＝BF2＝12＋22＝5，EF2＝12＋32＝10，∴BE2＋BF2＝EF2，∴△BEF是直角三角形，且∠EBF＝90°，∴BF⊥EB，∴直线BF与这条圆弧相切于点B，且经过点(1，3).
第13题解图
14. 2，14　【解析】由题意可知CO＝5，∠ABC＝90°，点M在以点O为圆心，OB长为半径的圆上运动，如解图①，当☉O与CP相切于正方形ABCD内的点M时，AP最小，则OM⊥PC，∴AB为☉O的切线，OM＝OB＝3，∴PM＝PB，CM＝4，∵∠OCM＝∠PCB，∴△COM∽△CPB，∴＝，∴＝，解得PB＝6，∴AP的最小值为8－6＝2；如解图②，当CP与☉O相切于正方形ABCD外的M点时，此时AP最大，同理可得BP＝6，∴AP的最大值为8＋6＝14.

展开更多......

收起↑