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专题32　与圆有关的计算
基础巩固
1. (2025绥化)在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是(　　)
A. 6 cm B. 8 cm
C. 10 cm D. 12 cm
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以点D为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接DE，则图中阴影部分的面积为(　　)
第2题图
A. B.
C. D.
3. 若圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为30°，则此扇形的面积为(　　)
A. 3π B.
C. 4π D.
4. 如图，在边长为1的等边△ABC中，以顶点A为圆心，一定长为半径画弧，恰与底边BC相切，且分别交AB，AC于点D，E，则图中阴影部分的面积是(　　)
第4题图
A. － B. －
C. － D.
5. (2025浙江)如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB＝2，则的长为(　　)
第5题图
A. π B. π
C. π D. π
6. (2025山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为(　　)
第6题图
A. 2π－4 B. 4π－4
C. 8π－8 D. 4π－8
7. (2025山东省卷)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是(　　)
第7题图
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
8. 如图，☉O的直径AB＝2，与弦CD交于点E，∠CAB＝30°，AC＝AE，连接AD，则图中阴影部分的周长为(　　)
第8题图
A. π B. π－
C. π D. π＋
9. (2025)如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，BC＝6，以AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，连接OE，若D是的中点，则阴影部分的面积为(　　)
第9题图
A. B.
C. D.
10. 扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的大小是 °.
11. (2025成都)如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 .
第11题图
12. 如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为 .
第12题图
13. (2025漯河一模)如图，M为半圆O上一点，将半圆O绕点M逆时针旋转，点O的对应点O'恰好与点A重合，若半圆O的半径为2，则阴影部分的面积是 .
第13题图
14. (2025广西)绣球是广西民族文化的特色载体.如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O'(5，5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①(阴影部分)，同理得到叶瓣②.
第14题图
(1)写出A，B两点的坐标；
(2)求叶瓣①的周长；(结果保留π)
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到.
综合训练
15. (2025省实验中学二模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均为格点，过A，B，C作，连接DE交于点F，则弧的长是 .
如图，在△ABC中，AB＝AC＝，∠B＝30°，点O为BC上一点，以点O为圆心的圆与△ABC交于A，B，D三点，点E为直径BD下方半圆上一点，连接AE，DE，则图中阴影部分面积的最大值为 .
第16题图
参考答案
1. A　【解析】设☉O的半径是r cm，∴＝2.5π，∴r＝6，∴☉O的半径是6 cm.
2. C　【解析】∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以点D为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接DE，∴CD＝AB＝1，DE＝AD＝2，∠C＝90°，∴∠DEC＝30°，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝30°，∴S阴影部分＝＝.
3. A　【解析】∵圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为30°，∴圆锥侧面展开扇形的弧长l＝底面圆的周长，即l＝2×π×＝π，设扇形的半径为R，∵l＝＝，∴π＝，解得R＝6，∴扇形的面积＝lR＝×π×6＝3π.
4. A　【解析】如解图，设弧与底边BC相切于点F，连接AF，则AF⊥BC，∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝1，∠BAC＝∠B＝60°，∴AF＝AB·sin B＝1×＝，∴S阴影部分＝S△ABC－S扇形DAE＝×1×－＝－.
第4题解图
5. B　【解析】如解图，连接CE，由题意可知∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝35°，∴∠CDE＝∠A＋∠ACD＝70°，由题意知CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE＝70°，∴∠DCE＝180°－70°－70°＝40°，∵AB＝2，∴CD＝×2＝1，∴的长为＝π.
第5题解图
6. D　【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BC＝4，∴AB＝AC＝BC＝2，∴S阴影部分＝2(S扇形CBD－S△ABC)＝2×(－×2×2)＝4π－8.
7. D　【解析】如解图，设圆心为O，正方形ABCD的内切圆与正方形ABCD的其中两个切点分别为E，F，连接OE，OF，OD，根据切线的性质得OE⊥AD，OF⊥CD，且OE＝OF，∴易得四边形OEDF是正方形.∵内切圆的半径为2，∴OE＝2，∴OD＝OE＝2，∴S阴影部分＝π×OD2－π×OE2＝π×－π×22＝4π.
第7题解图
8. D　【解析】如解图，连接OC，OD，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB＝30°，∴∠COB＝∠CAB＋∠ACO＝60°，∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝×(180°－30°)＝75°，∴∠OCD＝∠ACE－∠ACO＝45°，∵OC＝OD，∠ODC＝∠OCD＝45°，∴∠COD＝90°，∵AB＝2，∴OC＝OD＝OB＝1，∴CD＝＝，的长＝＝π，∴阴影部分的周长是π＋.
第8题解图
9. D　【解析】如解图，连接BD，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠BAC＝70°，∴∠ABD＝90°－∠BAC＝20°，∵D是的中点，∴∠CBD＝∠ABD＝20°，∴∠ABE＝40°，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB＝BC＝6，∴OB＝3，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE＝40°，∴∠BOE＝180°－2∠OBE＝100°，∴S阴影部分＝＝.
第9题解图
10. 240　【解析】∵扇形的面积是它所在圆的面积的，∴这个扇形的圆心角的大小是360°×＝240°.
11. 　【解析】如解图，连接OB.∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC，AB∥OC，∵OA＝OC＝OB，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC∥AB，∴S△AOB＝S△ABC，∴S阴影部分＝S扇形AOB＝＝.
第11题解图
12. －　【解析】如解图，连接OE.∵S△ADC＝AD·CD＝×2×2＝2，S扇形COE＝π×12＝，S△COE＝×1×1＝，∴S弓形CE＝－，∴S阴影部分＝S△ADC－S弓形CE＝2－(－)＝－.
第12题解图
13. －　【解析】如解图，连接MO，MA，过M作MN⊥AO于点N，由题意可知BO＝AO＝MO＝MA＝2，∴△MAO是等边三角形，∴∠MOA＝∠MAO＝60°，ON＝AN＝OA＝1，在Rt△MON中，由勾股定理可得MN＝＝，∴S△MOA＝×2×＝，∴阴影部分的面积＝S弓形MO＋S扇形MOA＝(S扇形MAO－S△MOA)＋＝(22×π－)＋22×π＝－.
第13题解图
14. 解：(1)∵以原点O，O'(5，5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，
∴OA＝OB＝O'A＝O'B＝5，
∴四边形OAO'B是菱形，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形OAO'B是正方形，
∴∠AOB＝OBO'＝BO'A＝O'AO＝90°，
∴A(0，5)，B(5，0)；
(2)由(1)可得∠AO'B＝∠AOB＝90°，OA＝O'A＝5，
∴叶瓣①的周长为2π×OA××2＝5π；
(3)叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到(答案不唯一).
15. π　【解析】如解图，取DE的中点O，易知点O为格点.连接AO，CO，BO，则AO＝CO＝BO＝＝，∴所在圆的圆心是O，半径是.取格点P，连接OP，PC，PE，则OP＝，PC＝，∴OP2＋OC2＝PC2，∴∠POC＝90°，∴∠OPC＝45°.同理可得，∠POF＝45°，∴∠COF＝135°，∴的长是＝π.
第15题解图
16. ＋　【解析】如解图，连接AD，过点O作OJ⊥AD于点J，延长JO交☉O于点F，连接AF，DF，OA.观察解图可知，当点E与点F重合时，点E到AD的距离最大，即△ADE的面积最大，此时阴影部分的面积最大，∵∠AOD＝2∠B＝60°，OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∵BD是☉O的直径，∴∠BAD＝90°，∴AD＝AB·tan 30°＝1，∴OA＝OD＝AD＝OF＝1，∵OJ⊥AD，∴OJ＝，∴FJ＝1＋，∴阴影部分的面积的最大值＝S△ADF＋S弓形AD＝S△ADF＋(S扇形AOD－S△AOD)＝×1×(1＋)＋(－×1×)＝＋.
第16题解图

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