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第七章　图形的变化
专题34　尺规作图—五种基本尺规作图
基础巩固
1. (2025开封一模)如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AP是∠BAC的平分线的为(　　)
第1题图
A. ①② B. ①③
C. ①④ D. ①②③
2. 如图，在△ABC中，D是边AC上一点.按要求作图：①以点D为圆心，BC长为半径画弧；②以点B为圆心，CD长为半径画弧；③两弧在BC上方交于点F；④连接DF，交AB于点E，连接BF.下列结论不正确的是(　　)
第2题图
A. DF∥BC
B. ∠A＝∠ABF
C. DE＝EF
D. 四边形BCDF是平行四边形
3. (2025吉林省卷)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B.尺规作图操作如下：(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；(2)以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；(3)过点M'画射线CM'交边AB于点D.下列结论错误的为(　　)
第3题图
A. ∠B＝∠DCB
B. ∠BDC＝90°
C. DB＝DC
D. AD＋DC＝BC
4. (2025湖北省卷)如图，△ABC内接于☉O，∠BAC＝30°.分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交☉O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是(　　)
第4题图
A. 30° B. 50° C. 60° D. 75°
5. (2025北京)如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为(　　)
第5题图
80° B. 100° C. 110° D. 120°
6. (2025辽宁)如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝12，CA＝10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D.在线段AD上取一点K，以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE.则△DAE的周长为(　　)
第6题图
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
7. (2025许昌一模)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°.
(1)尺规作图：作∠ACB的平分线，交AB于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，延长CA至点E，使AE＝AD，连接BE.求证：BE＝CD.
第7题图
8. (2025安阳二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AB＝2AD.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠DAM，使∠DAM＝∠C，且射线AM交BC于点M(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接DM，证明：四边形ABMD是菱形.
第8题图
综合训练
9. (2025南阳邓州二模)如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处E点(即半圆的中点)，同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面BO上的G处.
(1)尺规作图：作出光线FG(不写作法，仅保留作图痕迹)；
(2)通过测量得到BC＝4.5米，DG＝2米，并测得光线与水平面夹角为37°，请你利用同学们的测量数据求出电线杆AB的高度.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)
第9题图
参考答案
1. B
2. C　【解析】由作图过程可知，DF＝BC，BF＝CD，∴四边形BCDF是平行四边形，∴DF∥BC，CD∥BF，∴∠A＝∠ABF，故A，B，D选项正确，不符合题意；由已知条件不能得出DE＝EF，故C选项不正确，符合题意.
3. D　【解析】由作图可知∠B＝∠DCB＝45°，∴DB＝DC，∠BDC＝90°，故选项A，B，C正确，AD＋DC＝AB，故D选项错误.
4. C　【解析】由作图可得，MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，∴DA＝DB，而∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠AOE＝2∠ABD＝60°.
5. B　【解析】如解图，连接AB，BC，由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°. ∵ OC＝OC，∴△OAC≌△OBC(SSS)，∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝30°，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝50°，∴∠OAC＝180°－∠ACO－∠AOC＝180°－30°－50°＝100°.
第5题解图
6. B　【解析】由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则∠BOC＝∠BOE＝90°，∵BP平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，在△BOC和△BOE中，，∴△BOC≌△BOE(ASA)，∴OC＝OE，BC＝BE＝12，∴BD垂直平分CE，AE＝AB－BE＝4，∴DE＝CD，∴△ADE的周长为AE＋DE＋AD＝AE＋AD＋CD＝AE＋AC＝14.
第6题解图
7. (1)解：如解图，CD即为所求作；
第7题解图
(2)证明：在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴BE＝CD.
8. (1)解：如解图，AM即为所求作；
第8题解图
(2)证明：由(1)得∠DAM＝∠C.
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠C.
∴AM∥DC.
∴四边形AMCD是平行四边形.
∴AD＝MC.
由条件可知BC＝2MC.
∵BC＝BM＋MC，
∴BM＝MC＝AD.
∴四边形ABMD是平行四边形.
∵AB＝AD，
∴四边形ABMD是菱形.
9. 解：(1)如解图，光线FG即为所求作；
第9题解图
(2)如解图，连接OE，过点E作EH⊥AB于点H.
∵FG是半圆O的切线，
∴OF⊥FG，
设OF＝OE＝OC＝OD＝r m，
由题意可知∠FGO＝37°，
∴sin∠FGO＝sin 37°＝≈，
∴＝，
解得r＝3，
经检验，r＝3是分式方程的解，
易知四边形BHEO是矩形，
∴BH＝EO＝3，EH＝OB＝BC＋CO＝7.5，
在Rt△AEH中，AH＝EH·tan 37°≈7.5×＝，
∴AB＝AH＋BH＝＋3≈8.6，
∴电线杆AB的高度约为8.6 m.

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