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专题37　图形的平移、旋转与位似
基础巩固
1. (2025吉林省卷)如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能，图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为(　　)
第1题图
A. 90° B. 120°
C. 150° D. 180°
2. (2025眉山)如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是(　　)
第2题图
A. 2∶1 B. 1∶2
C. 4∶1 D. 1∶4
3. (2025洛阳涧西区一模)如图，∠AOB的顶点O在直线MN上，把∠AOB沿着直线MN平移到∠A'O'B'处.若∠AOM＝40°，∠AOB＝90°，则∠B'O'N的度数是(　　)
第3题图
A. 45° B. 50°
C. 55° D. 60°
4. (2025德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝(　　)
第4题图
A. 3 B. 2 C. 1 D. 12
5. (北师八下习题改编)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(2，0)，将△ABO绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是(　　)
第5题图
A. (－3，1) B. (1，－3)
C. (2，－1) D. (1，－2)
6. (2025濮阳二模)如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转一定角度得到BD'，使得∠ABD＝∠CBD'，连接CD'，DD'.若∠ADB＝100°，则∠DD'C为(　　)
第6题图
A. 30° B. 60°
C. 50° D. 40°
7. (2025天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B，C的对应点分别为B'，C'，B'C'的延长线与边BC相交于点D，连接CC'.若AC＝4，CD＝3，则线段CC'的长为(　　)
第7题图
A. 125 B. 165
C. 4 D. 245
8. (2025新乡一模)如图，平面直角坐标系中点A的坐标为(－1，3)，点B的坐标为(2，0)，连接OA并延长，得到射线OC，连接AB，将△OAB沿射线OC方向平移，平移的距离为AB的长，则平移后点B的坐标为(　　)
第8题图
A. (2－3，3) B. (－2－3，3)
C. (1－3，2) D. (－1－3，2)
9. (2025商丘模拟改编)在平面直角坐标系xOy中存在点A(－6，8)，B，以原点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的一半，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是 .
10. (2025驻马店驿城区一模)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上.把正六边形ABCDEF绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，当连续旋转2 025次后，顶点D的对应点D'的坐标是 .
第10题图
综合训练
11. [分类讨论思想]如图，在?ABCD中，AB＝5，AD＝7，过点A作AE⊥BC于点E，且AE＝4，将△AEB绕点E旋转得到△A'EB'，点A，B旋转后的对应点分别为点A'，B'，在旋转过程中，当A'B'⊥BC交BC于点F时，CF的长为 .
第11题图
(2025漯河模拟)如图，AB＝32，C是平面内一动点，且BC＝2，连接AC，将AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，则BD的最小值为 ，最大值为 .
第12题图
13. (2025郑州外国语一模节选)
(1)【特例分析】媛媛和早早在共同学习探究平移和旋转的过程中发现了有趣的事情：如图①，△ABC是等边三角形，将△ABC绕顶点C顺时针旋转α°(0＜α≤360)得到△A'B'C，连接AA'和BB'，直线AA'和BB'交于点M，那么在旋转的过程中，∠A'MB的度数始终等于 °，特别地，当α＝30时，BB'MB'＝ ；
(2)【深入探究】如图②，媛媛继续探究，如果△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°且AB＝AC，同样将△ABC绕顶点C顺时针旋转α°(0＜α≤360)得到△A'B'C，直线AA'和BB'交于点M，则直线AA'和直线BB'所夹锐角的度数是 °；请猜想线段BM与B'M的数量关系，并就图②说明理由.
第13题图
参考答案
1. B　【解析】360°÷3＝120°，图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为120°.
2. B　【解析】∵OB∶OD＝1∶2，将△OAB以点O为位似中心放大2倍后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的周长之比是1∶2.
3. B　【解析】由平移得，∠A'O'B'＝∠AOB＝90°，OA∥O'A'，∴∠A'O'M＝∠AOM＝40°，∴∠B'O'N＝180°－∠A'O'B'－∠A'O'M＝50°.
4. B　【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，∴CD＝12AB，∵CD＝1，∴AB＝2CD＝2，∵△ABC沿CB方向向右平移至△EGF，∴GE＝AB＝2.
5. B　【解析】如解图，过点C作x轴的垂线，垂足为M，∵点B坐标为(2，0)，∴OB＝2.由旋转可知，BC＝OB＝2，∠OBC＝60°∴在Rt△CBM中，BM＝12BC＝1，CM＝32BC＝3，∴OM＝2－1＝1，∴点C的坐标为(1，－3).
第5题解图
6. D　【解析】∵∠ABD＝∠CBD'，∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBD'＋∠DBC＝60°，∴∠DBD'＝60°，∵BD＝BD'，∴△BDD'为等边三角形，∴∠BD'D＝60°，∵在等边△ABC中，AB＝BC，∴△ABD≌△CBD'(SAS)，∴∠BD'C＝∠BDA＝100°，∴∠DD'C＝∠BD'C－∠BD'D＝40°.
7. D　【解析】如解图，连接AD与CC'交于点O，AD＝AC2＋CD2＝5，由旋转可知，AC＝AC'，∠ACD＝∠AC'B'＝∠AC'D＝90°，∵AD＝AD，∴Rt△AC'D≌Rt△ACD(HL)，∴C'D＝CD，又∵AC＝AC'，∴AD⊥CC'，C'O＝CO，CC'＝2CO＝2×CD·ACAD＝2×3×45＝245.
第7题解图
8. A　【解析】设△OAB平移后为△O'A'B'，如解图，分别过点A，A'作x轴的垂线段AD，A'E，则∠ADB＝∠A'EO＝90°，AD＝3，BD＝3，在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2＝23，由平移性质可知AA'＝AB＝23，在Rt△AOD中，OA＝AD2＋OD2＝2，∴OA'＝OA＋AA'＝2＋23，∵∠AOD＝∠A'OE，∴△AOD∽△A'OE，∴ODOE＝ADA'E＝OAOA'＝22+23，解得OE＝1＋3，A'E＝3＋3，∴A'(－1－3，3＋3)，∴点A'由点A向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，∴B'(2－3，3).
第8题解图
9. (－3，4)或(3，－4)　【解析】以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的一半得到△CDO，点A的坐标为(－6，8)，则点A的对应点C的坐标为(－6×12，8×12)或(6×12，－8×12)，即(－3，4)或(3，－4).
10. (－3，－23)　【解析】如解图，连接AD，BD.易得∠ADB＝30°，∵AB＝2，∠ABD＝90°，∴BD＝23，AD＝4，在Rt△AOF中，AF＝2，∠OAF＝60°，∴∠OFA＝30°，∴OA＝12AF＝1，∴OB＝OA＋AB＝3，∴D(3，23)，∵6次一个循环，∵2 025÷6＝337…3，∴经过第2 025次旋转后，顶点D的坐标与第3次旋转得到的D3的坐标相同，∵D与D3关于原点对称，∴D3(－3，－23)，即D'(－3，－23).
第10题解图
11. 85或325　【解析】分两种情况：①当点A'在BC下方时，如解图①，∵AE⊥BC，AB＝5，AE＝4，∴在Rt△AEB中，由勾股定理得，BE＝AB2－AE2＝52－42＝3，由旋转得△AEB≌△A'EB'，∴A'E＝AE＝4，EB'＝EB＝3，A'B'＝AB＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝7，∴CE＝BC－BE＝4，∵A'B'⊥BC，∴12EB'·A'E＝12A'B'·EF，解得EF＝125，∴CF＝CE－EF＝85；②当点A'在BC上方时，如解图②，同理①可知EF＝125，∴CF＝EF＋CE＝325.综上所述，CF的长为85或325.
第11题解图
12. 4，8　【解析】根据题意可知，点C在以B为圆心，BC长为半径的圆上运动.如解图①，将AB逆时针旋转90°得到AE，连接DE，BE，∴∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAE－∠BAD＝∠CAD－∠BAD，BE＝AB2＋AE2＝6，∴∠DAE＝∠CAB，∴△DAE≌△CAB(SAS)，∴DE＝CB＝2，∴点D在以E圆心，2为半径的圆上运动，∴如解图②，③，当点D1在线段BE上时，BD1的最小值为4，当点D2在线段BE上时，BD2的最大值为8.
第12题解图
13. 解：(1)120；3；
【解法提示】由旋转可知∠BCB'＝∠ACA'＝α，CB＝CB'，CA＝CA'，∴∠CBB'＝∠CA'A＝90°－12α°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠A'CB＝60°＋α°，在四边形CBMA'中，∠A'MB＝360°－(∠A'CB＋∠CBB'＋∠CA'A)＝120°；∵∠ABM＝∠B'A'M＝90°－12α°－60°＝15°，∴在△ABM和△B'A'M中，∠M＝∠M∠ABM＝∠B'A'MAB＝A'B'，∴△ABM≌△B'A'M(AAS)，∴MB＝MA'，如解图①，连接AB'，则∠MB'A＝∠MAB＝30°，∴AB'＝3MB'，∠BAB'＝30°－15°＝15°＝∠ABB'，∴BB'＝AB'，∴BB'＝3MB'，即BB'MB'＝3.
第13题解图①
(2)45；
解法一：线段BM与B'M的数量关系为：B'M＝BM；理由如下：
如解图②，过点B'作B'H∥AB，交AM的延长线于点H，连接AB'，BH，
由CA＝CA'，得∠CA'A＝∠CAA'，
∵∠CA'B'＝∠CAB＝90°，
∴∠B'A'A＝∠BAM，
∵B'H∥AB，
∴∠B'HM＝∠BAM＝∠B'A'A，
∴B'H＝B'A'，
由旋转可知A'B'＝AB，
∴B'H＝AB，
又∵B'H∥AB，
∴四边形ABHB'是平行四边形，
∴AH与BB'互相平分，
∴B'M＝BM.
第13题解图②
【解法提示】由题意可知CBCA＝CB'CA'＝2，∠BCB'＝∠ACA'＝α°，∴△BCB'∽△ACA'，∴∠CB'B＝∠CA'A，根据8字型倒角可得∠A'MB'＝∠A'CB'＝45°.
解法二：∵∠A'MB'＝∠A'CB'＝45°，∴A'，B'，M，C四点共圆(同弧所对的圆周角相等)，如解图③，连接CM，∵∠CA'B'＝90°，∴CB'为直径，∴∠CMB'＝90°，即CM⊥BB'，∵CB＝CB'，∴BM＝B'M.
第13题解图③

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