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专题40　概　率
基础巩固
1. (2025扬州)下列说法不正确的是(　　)
A. 明天下雨是随机事件
B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D. 若甲组数据的方差＝0.13，乙组数据的方差＝0.04，则乙组数据更稳定
2. (2025湖北省卷)在下列事件中，不可能事件是(　　)
A. 投掷一枚硬币，正面向上
B. 从只有红球的袋子中摸出黄球
C. 任意画一个圆，它是轴对称图形
D. 射击运动员射击一次，命中靶心
3. (2025苏州)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 现有一款质地均匀的正方形地砖，各边边长均被等分为4份，形成如图所示的图案.若向该地砖上任意投掷一个沙包，则沙包落在阴影区域的概率是(　　)
第4题图
A. B. C. D.
5. (2025福建)在分别写有－1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是(　　)
A. B. C. D.
6. (2025河北)抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1，2，3中的一个数字)，若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是(　　)
ABCD
7. (2025广东省卷)如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为(　　)
第7题图
A. B. C. D.
8. (2025山东省卷)某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是(　　)
A. B. C. D.
9. 中国“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.如图，下面四张卡片分别代表立春，谷雨，白露，大雪，卡片除正面图案外其他均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小华随机抽取两张卡片，则小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为(　　)
第9题图
A. B.
C. D.
10. (2024武汉)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是(　　)
A. B.
C. D.
11. (北师九上习题改编)某班从7名男生和2名女生中随机选m名学生参加学校举行的歌唱比赛，若此时“选中的学生中至少有1名女生”为必然事件，则m的最小值是 .
12. (人教九上习题改编)投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏.下表记录了一组游戏参与者的投壶结果.
投壶次 数n 150 200 250 300 400 500
投中次 数m 72 104 125 153 200 250
投中频 率 0.48 0.52 0.50 0.51 0.50 0.50
根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率为 (结果精确到0.1).
13. (2025浙江)现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .
14. (2025三门峡二模)用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色(若指针指向两个扇形的交线，则重新转动)，则配成紫色的概率是 .
第14题图
15. (2025郑州一模)如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲，乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲，乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是 .
第15题图
16. (2025山西)如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 .
第16题图
17. (2025江西)校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是(　　)
A. 必然事件
B. 随机事件
C. 不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
18. 如图，小强参加一个闯关游戏，共有两关，第一关有四个完全相同的按钮，其中有两个是闯关成功按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有五个完全相同的按钮，其中有两个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮.进行闯关时，每一关任选一个按钮，两关均选择闯关成功按钮，则游戏获胜，否则游戏失败.
闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮.
(1)若小强第一关不使用“提示”功能，则他第一关闯关成功的概率是 ；
(2)若要使得闯关游戏获胜的概率增大，请你通过计算并建议小强使用“提示”功能的关卡.
第18题图
综合训练
19. 新考法　跨物理学科 如图所示的电路图中，当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，灯泡不发光的概率是 .
第19题图
(2025安徽)在一个平衡的天平左，右两端的托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g，20 g，30 g，40 g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 .
第20题图
参考答案
1. B　【解析】明天下雨是随机事件，则A不符合题意；调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样调查的方式，则B符合题意；描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图，则C不符合题意；若甲组数据的方差＝0.13，乙组数据的方差＝0.04，因0.13＞0.04，那么乙组数据更稳定，则D不符合题意.故选B.
2. B　【解析】A.投掷硬币可能出现正面向上，是随机事件，不符合题意；B.袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，是不可能事件，符合题意；C.圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，是必然事件，不符合题意；D.射击一次可能命中靶心，是随机事件，不合题意.
3. B　【解析】设红球的个数为x个，由题意得＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原分式方程的解，且符合题意，即红球的个数为2个.
4. A　【解析】记每个小正方形的边长为1，则阴影区域的面积为6，大正方形的面积为4×4＝16，∴P(沙包落在阴影区域)＝＝.
5. B　【解析】画树状图如解图，由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，∴P(这两张卡片上的数恰好互为相反数)＝＝.
第5题解图
6. A　【解析】正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，∴数字1有3个，数字2有2个，则数字3只有1个，选项A中数字3有2个，符合题意.
7. D　【解析】圆的面积为π×()2＝2π，∵BC＝2，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝2，∴扇形ABC的面积为＝π，∴该粒米落在扇形内的概率为＝.
8. A　【解析】记“亚醜钺”为A，“蛋壳黑陶杯”为B，“颂簋”为C，画树状图如解图，由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果有1种，∴P(甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”)＝.
第8题解图
9. A　【解析】用A，B，C，D分别表示立春，谷雨，白露，大雪，画树状图如解图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的结果有6种，∴小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为＝.
第9题解图
10. D　【解析】画树状图如解图，由树状图可知，共有9种等可能的结果，至少一辆车向右转的结果有5种，∴至少一辆车向右转的概率为.
第10题解图
11. 8
12. 0.5
13. 　【解析】根据题意列表如下，由列表可知共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有(4，2)，(4，3)，(5，2)，(5，3)，共4种，∴甲出的卡片数字比乙大的概率为.
甲 乙
2 3 6
1 (1，2) (1，3) (1，6)
4 (4，2) (4，3) (4，6)
5 (5，2) (5，3) (5，6)
14. 　【解析】画树状图如解图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，∴P(配成紫色)＝＝.
第14题解图
15. 　【解析】将3个检票闸机从左到右分别记为A，B，C，根据题意列表如下，由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的结果有(A，B)，(B，A)，(B，C)，(C，B)，共4种，∴P(甲、乙两人从相邻的闸机检票进站)＝.
A B C
A (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，C)
16. 　【解析】画树状图如解图，由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中“”回到格子A的结果有2种，∴P(“”回到格子A)＝＝.
第16题解图
17. 解：(1)B；
(2)把“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别记为A，B，C，D，
画树状图如解图：
第17题解图
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种，
∴P(两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒)＝＝.
18. 解：(1)；
(2)第一关使用“提示”功能后，剩余两个闯关成功按钮，一个闯关失败按钮，
设“√”表示闯关成功，“×”表示闯关失败，画树状图如解图①：
第18题解图①
由树状图可知，共有15种等可能的结果，两关均闯关成功的结果有4种，
∴P(第一关使用“提示”功能游戏获胜)＝；
第二关使用“提示”功能后，剩余两个闯关成功按钮，两个闯关失败按钮，
设“√”表示闯关成功，“×”表示闯关失败，画树状图如解图②：
第18题解图②
由树状图可知，共有16种等可能的结果，两关均闯关成功的结果有4种，
∴P(第二关使用“提示”功能游戏获胜)＝＝.
∵＞，
∴P(第一关使用“提示”功能游戏获胜)＞P(第二关使用“提示”功能游戏获胜).
故建议小强在第一关使用“提示”功能.
19. 　【解析】将S1，S2，S3分别用1，2，3表示，画树状图如解图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中灯泡不发光的结果有2种，∴P(灯泡不发光)＝＝.
第19题解图
20. 　【解析】∵70－20＝50(g)，∴选取的两件物品质量相加需为50 g可使天平恢复平衡.从四件物品中任选两件共有6种组合(10，20)，(10，30)，(10，40)，(20，30)，(20，40)，(30，40)，其中可使天平恢复平衡的组合有(10，40)，(20，30)，共2种，∴P(天平恢复平衡)＝＝.

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