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2025-2026学年高二上学期第一阶段考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数z满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
7．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量与向量共面
10．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．函数图像关于点中心对称
B．在上单调递减
C．将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像
D．直线是曲线的一条对称轴
11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为
三、填空题
12．已知向量平行于向量，则m+n＝ ．
13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ．
14．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为 米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）.
四、解答题
15．已知的顶点，，，为的中点．
(1)求直线的斜率；
(2)判断的形状；
(3)设分别为的中点，求直线的斜率．
16．如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．设，，．

(1)用，，表示；
(2)设E是棱上的点，且，用，，表示．
17．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.
18．如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．已知向量，，定义新运算：.若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数.
(1)若向量，（，），且向量，的点积函数，求的值；
(2)若向量，，求向量，的点积函数的值域；
(3)若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B C B B C ABD ABD
题号 11
答案 ABD
1．D
先求得集合，再根据交集的定义求解即可．
【详解】由题可知，，所以，
故选：D．
2．C
根据复数运算求得，进而求得.
【详解】由得，
两边乘以得，
所以.
故选：C
3．A
利用空间向量研究空间位置关系，一一判定选项即可.
【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以或，故B错误；
对于C，若，则，即，
易得，故C错误；
对于D，若，则，即，易得，
故D错误.
故选：A
4．B
由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得，.
要使有两解，即有两解，则应有，且，
所以，
所以.
故选：B．
5．C
根据条件，先求的有关值，再求对应事件的概率.
【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
6．B
建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可.
【详解】因为直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，所以两两垂直，
以为轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，，
所以，，
设直线与直线所成角为，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：B
7．B
结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得.
【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即；
当时，直线的斜率存在，
则或，解得或；
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
8．C
首先推导出，从而得到，再根据计算可得.
【详解】因为，即，
所以
，
又，所以，
所以.
故选：C
9．ABD
根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D.
【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确；
对于B：因为,，所以，B选项正确；
对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误；
对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确.
故选：ABD.
10．ABD
根据条件求出的值，然后根据三角函数的知识逐一判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，即，即，
因为，所以函数图像关于点中心对称，故A正确；
当时，，所以在上单调递减，故B正确；
将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，故C错误；
因为，所以直线是曲线的一条对称轴，故D正确；
故选：ABD
11．ABD
A选项，考虑锥体的底面积、高均未变，故体积不变；B选项，找出异面直线所成的角，在三角形中判断角的大小；CD选项，找到点轨迹，计算可得.
【详解】对A：如图：

当在平面上运动时，四棱锥的底面面积为定值4，高为点到平面的距离为定值2，所以为定值.故A正确；
对B：如图

当在线段上运动时，与所成角就是与所成的角，因为为等边三角形，所以当点与线段的端点重合时，与所成的角最小，为，当点为线段中点时，与所成的角最大，为.故B正确；
对C：如图：

因为是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，所在的平面为如图正六边形，正六边形的边长为，当点与中点重合时，最小，为.故C错误；
对D：如图：

使直线与平面所成的角为的点P的轨迹为对角线、以及平面内以为圆心，以2为半径的圆的，故点的轨迹长度为：.故D正确.
故选：ABD
12．##
直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件求出结果．
【详解】由于向量平行于向量，
故，解得，n，
故m+n＝，
故答案为：．
13．
根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长.
【详解】由条件知，
又二面角的平面角为，则，所以
，
所以．
故答案为：.
14．26
中,运用正弦定理，先求出，再根据等腰直角三角形知识得到即可.
【详解】中，，,.所以.
在中，运用正弦定理，可得，代入值求得，
由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米.
故答案为：26.
15．(1)；
(2)等腰直角三角形；
(3).
（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率；
（2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状；
（3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率.
【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则；
（2）由，，，
由，，知是直角三角形．
又，结合已知，则是的垂直平分线，
所以是等腰直角三角形．
（3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则，
所以，故直线的斜率为．
16．(1)
(2)
（1）根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果；
【详解】（1）因为，
且，，，
则.
（2）
17．(1)，75；
(2)
（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可；
（2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图有，解得，
因为，
所以中位数在区间内，设为x，
则有，得，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；
（2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，，
所以有，
记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，
则有，且有与互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，
所以
，
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.
【详解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
19．(1)2
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，，
则，，即，
所以；
（2）因，，
则，
令（），则，对称轴为，
则函数在上单调递增，当，
，则的值域为.
（3）因，，
则，
于是，
，
当时，，
因在时的取值范围为，
故，
由存在，使得成立，即与有交集，
故需满足，解得，综上所述的取值范围为.

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