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2025-2026学年山东省昌乐二中高二上学期 9月模拟监测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. ∩ = ， ， ∩ = B. ∩ = ， ∈ ， ∩ =
C. ∩ = ， ， ， D. ∩ = ， ∈ ， ∈ ， ∈
2.设 , 是两个不同的平面， , 是两条直线，且 , ⊥ .则“ ⊥ ”是“ // ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.以下四个命题中，正确命题是( )
A.不共面的四点中，其中任意三点不共线
B.若点 、 、 、 共面，点 、 、 、 共面，则 、 、 、 、 共面
C.若直线 、 共面，直线 、 共面，则直线 、 共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
4.已知在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是 ， 1， 1 1的中点，则过这三点的截面图的形
状是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
5.球面上有三点 , , ，若 = 6, = 8, = 10，且球心到 所在平面的距离，等于球的半径的一
半，则该球的球面面积为( )
A. 400π3 B. 300π C. 1200π D. 1600π
6.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧
面积之比为( )
A. 12 B.
2 3
2 C. 3 D. 3
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7.如图，在长方体 1 1 1 1中，已知 = = 2， 1 = 5， 为 1 1的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值为( )
A. 510 B.
34
34 C.
13
26 D.
13
13
8.定义：通过 24 小时内降水在平地上的积水厚度(mm)来判断降雨程度；其中小雨(0mm 10mm)，中雨
(10mm 25mm)，大雨(25mm 50mm)，暴雨(50mm 100mm)；小明用一个圆锥形容器(如图)接了 24
小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级( )
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 , , 为空间中三条不同的直线， , , 为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A.若 ∩ = , ⊥ ，则 ⊥ , ⊥
B.若 , ，则 与 为异面直线
C.若 ∩ = , ∩ = , ∩ = ，且 ∩ = ，则 ∈
D.若 ⊥ , ⊥ , // ，则 //
10.如图所示，在正方体 1 1 1 1中，给出以下判断，其中正确的有( )
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A. ⊥平面 1 1 B. 1 1//平面 1
C. 1与 1 是异面直线 D. 1 ⊥平面 1
11.已知四棱锥 如图， // 且 = 2 ， ， 分别是 ， 的中点，则下列说法正确的有( )
A. //平面
B. 9四棱锥 的体积为 1，三棱锥 的体积为 2，则 1 =2 2
C.平面 与平面 的交线记为 1，则直线 1//平面
D.平面 与平面 的交线记为 2，则直线 2//平面
三、填空题：本题共 3小题，每小题 4分，共 15分。
12.已知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 5，侧面积为 30π，则圆台的高为 ．
13.已知等边 边长为 2， ⊥平面 ，且 = 3，则点 到平面 的距离为 ．
14.如下图所示，矩形 中， = 2 2， = 2，沿 将 折起，使得点 在平面 上的射影落
在 上，则直线 与平面 所成的角为 ．
四、解答题：本题共 4小题，共 47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 11 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，点 是 的中点．
(1)求证： 1//平面 1．
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(2)若 1 ⊥平面 ， = ，求证： ⊥平面 1 1．
16.(本小题 12 分)
如图，四棱锥 的底面是矩形， ⊥平面 ， ， 分别 , 的中点，且 = ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥ ．
17.(本小题 12 分)
如图，在三棱台 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， = = 1 = 2 1 1 = 2， ⊥ ．
(1)求三棱台 1 1 1的体积；
(2)证明：平面 1 1 ⊥平面 1 1；
(3)求 1 与平面 1 1所成角的正弦值．
18.(本小题 12 分)
如图，等腰梯形 中， // ， ⊥ 于点 ， = 3 且 = = 1.沿 把 折起到 ′
的位置，使∠ ′ = 90°．
(1)求证： ⊥平面 ′ ．
(2)求三棱柱 ′ 的体积．
(3)线段 ′ 上是否存在点 ，使得 //平面 ′ .若存在，指出点 的位置并证明；若不存在，请说明理
由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 62
14.45°
15.解：(1)连接 1，交 1 于点 ，连接 .
∵ 1 1 1是三棱柱，∴四边形 1 1为平行四边形，∴ 是 1的中点．
∵点 是 的中点，∴ 是 1的中位线，∴ /\ !/ 1，
又 平面 1， 1 平面 1，∴ 1//平面 1．
(2) ∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
∵ = ， = ，∴ ⊥ ，
∵ 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1．
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16.解：(1)设 是 的中点，由于 是 的中点，
1
所以 // , = 2 ，
由于 是 的中点，四边形 是矩形，
// , = 1所以 2 ．
所以 // , = ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)由于 ⊥平面 ，
平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 = , 是 的中点，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
17.解：1)在三棱台 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，则 1 ⊥ ，
在直角梯形 1 1中，由 = 1 = 2 1 1 = 2，得 1 = 3，
而 ⊥ , = 2 1，则 = 2 = 2， =
1 1
1 1 1 4 = 2，
1所以 1 1 1 = 3 + 1 1 1 + 1 1 1 1
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= 13 2 +
1 1 7 3
2 + 2 × 2 × 3 = 6 ．
(2)由 1 ⊥平面 ， 平面 ，得 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1，则 ⊥平面 1 1，
又 平面 1 1，所以平面 1 1 ⊥平面 1 1．
(3)连接 1 ，
由(2)知， ⊥平面 1 1，则 1 与平面 1 1所成角即为∠ 1 ，
在 Rt 1 中， = 2， 2 2 21 = 1 + = 7， 1 = 1 + 2 = 11，
则 sin∠ 1 =
2 = 2 11 2 1111 11 ，即 1 与平面 1 1所成角的正弦值为 11 ．
18.解：(1)证明：∵ ∠ ′ = 90°，∴ ′ ⊥ ．
∵在等腰梯形中， ⊥ ，
∴在四棱锥中， ⊥ ′．
又 ∩ = ， , 平面 ，
∴ ′ ⊥平面 ．
又∵ 平面 ，∴ ′ ⊥ ．
∵在等腰梯形 中， ⊥ ， = 3 ，且 = = 1，
∴ = 3 = ， 2 = 1， = 3 1 = 2，
由勾股定理得 = 2 + 2 = 2，故 = = 2，
∴ 2 + 2 = 2，
∴由勾股定理逆定理得 ⊥ ．
∵ ′ ∩ = ， ′ , 平面 ′ ，
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∴ ⊥平面 ′ ．
(2) ∵ 1 = 2 =
1
2，
′ ⊥平面 ，
∴ 1 ′ 1 1 1 ′ = ′ = 3 = 3 × 2 = 6．
(3)线段 ′ 上存在一点 ，使得 //平面 ′ ， 为 ′ 的中点，证明如下：
证明：取 ′ 的中点 ， ′ 的中点 ，连结 ， ， ．
∵ ， 分别为 ′ ， ′ 的中点，
∴ // 且 = 12 ．
∵ // 且 = 3 ，
∴ // 且 = 12 ，
∴ // 且 = ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ．
又∵ 平面 ′ ， 平面 ′ ，
∴ //平面 ′ ．
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