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2025-2026学年山东省日照市日照经济技术开发区日照神州天立高级
中学高二上学期 9月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = ( 3,2,5)， = (1,4, 2)，则 2 等于( )
A. ( 5, 6,9) B. ( 1,10,1) C. ( 7,0,2) D. (5,6, 9)
2.已知点 (8,10), ( 4,4)，则线段 的中点坐标为( )
A. (2,7) B. (4,14) C. (2,14) D. (4,7)
3.已知 = 2, 3,1 ， = 2,1, ，若 ⊥ ，则 的值为( )
A. 7 B. 8 C. 6 D. 5
4.如图，已知平行六面体 ′ ′ ′ ′，则 + + ′ =( )
A. ′ B. C. ′ D. ′
5.已知点 3,2,4 ， 4,5,7 ，则 =( )
A. 19 B. 10 C. 19 D. 10
6. 3,4,5 ， 3,4,0 ， = 2 ， 为坐标原点，则点 的坐标为( )
A. 9,12,10 B. 3, 4, 10 C. 3,4,10 D. 9, 12, 10
7.已知空间中三点 ( 1,0,0), (0,1, 1), ( 2, 1,2)，则点 到直线 的距离为( )
A. 63 B.
6 3 3
2 C. 3 D. 2
8.在三棱锥 中， 为 的重心， = , = , = 1 2 , , ∈ 0,1 ，若 交平面
1
于点 ，且 = 2
，则 + 的最小值为( )
A. 12 B.
2 4
3 C. 1 D. 3
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若 是直线 的倾斜角，则 0 ≤ < 180
B.若 是直线的斜率，则 ∈
C.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
D.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
10.已知向量 = 2, 1, 4 ， = 4,2,0 ， = 1,2, 1 ，则下列说法正确的是( )．
A. ⊥ B. ⊥
C. 是平面 的一个法向量 D. = 2 3
11.如图， 内接于圆 ， 为圆 的直径， = 4， = 2， ⊥平面 ， 为 的中点，若三棱
锥 的体积为 2，则下列结论正确的有( )
A. 30异面直线 与 所成角的余弦值为 10
B. 6直线 与平面 所成的角的余弦值为 4
C.点 到平面 的距离为 6
D. 平面 与平面 所成的角的大小为3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.直线 过点 (1,0)和 ( 1,2)，则 的斜率为 ．
13.已知 = (1,2, 1)， = ( , , 2)，且 // ，那么 + = ．
14.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 1， 的中点，动点 满足
1
1 = 1 2 1
+
1 1，若 ⊥ ，则 = ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = 1,2, 1 ， = 2,0,1 ，求：
(1) + ；
(2)3 2 ；
(3) 2 ．
16.(本小题 15 分)
已知 = 2, 2,2 , + = 6, 3,2 ．
(1)求向量 的坐标；
(2)若 + ⊥ 2 ，求 的值．
17.(本小题 15 分)
在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2 = 2 = 2， 是棱 1上的中点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)异面直线 与 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 ⊥底面 ，且 = = 2 ，
设 , 分别为 , 的中点．
(1)证明：直线 //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正切值．
19.(本小题 17 分)
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如图，在四棱锥 中， ⊥平面 , // , = , = 2， = = = 4.点 在棱
上且与 , 不重合，平面 交棱 于点 ．
(1)求证： // ；
(2)若 为棱 的中点，求二面角 的正弦值；
(3)记点 , 到平面 的距离分别为 1, 2，求 2 21 + 2的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13. 6
14.54
15.解：(1) + = 1,2, 1 + 2,0,1 = 3,2,0 ．
(2)3 2 = 3,6, 3 4,0,2 = 1,6, 5 ．
(3)2 = 2,4, 2 2,0,1 = 0,4, 3 ，
所以 2 = 1,2, 1 0,4, 3 = 8 + 3 = 11．
16.解：(1)由 = 2, 2,2 , + = 6, 3,2 ，得 = ( + ) = (4, 1,0)．
2
(2)由(1) 2知， = 12, = 17, = 10，
2
由( + ) ⊥ ( 2 )，得 + 2 = 2 2 + 2
= 12 20 + 10 34 = 8 24 = 0，
所以 = 3．
17.解：(1)证明：以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
因为 1 = 2 = 2 = 2，
所以 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 1,1,1 ，
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= 1,1,1 , = 1,1,0 ，
= 1,1,1 1,1,0 = 1 + 1 = 0，
所以 ⊥ ；
(2) = 1,1,1 , = 0,1,0 ，
设异面直线 与 所成角的大小为 ，

则 cos = cos <

, > = 1,1,1 0,1,0 3

= = ，
3 3
故异面直线 与 3所成角的余弦值为 3 ．
18.解：(1)取 中点 ，连接 , ，
2
在四棱锥 中， = = 2 ，则 ⊥ ，
由 2 + 2 = 2，则 ⊥ = 1，有 2 =

2，
又平面 ⊥底面 ，平面 ∩底面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ， , 平面 ，则 ⊥ , ⊥ ，
又 , 分别为 , 的中点，底面 是边长为 的正方形，则 // , ⊥ ，
所以 , , 两两垂直，以 为原点， , , 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
0,0, , , , 0 , , , 0 , , 2 2 2 4 2 , 4 , 0,

2 , 0 ，

则 = 4 , 0, 4 ，取平面 的法向量为 = (0,1,0)，
所以 = 0，且 平面 ，
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所以 //平面 ；
(2)由(1) 知： = ( 2 , , 2 )，取平面 的法向量 = (0,0,1)，
设直线 与平面 所成的角为 ，

则 sin = cos , = = 2 6

= ，
3
2
2 6
∴ cos = 1 ( 66 )
2 = 306 ，故 tan =
5
5 ，
∴直线 5与平面 所成的角的正切值为 5 ．
19.解：(1)因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
又 平面 ，平面 ∩平面 = ．
所以 // ．
(2)如图：
取 中点 ，连接 ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
在四边形 中， // ，且 = = 2，
所以四边形 为矩形，所以 ⊥平面 ．
又在 和 中， = = 4， = = 2， = ．
所以 ( ).
所以， ⊥ ．
故 ， ， 两两垂直，所以以 为原点，建立如图空间直角坐标系．
当 为 中点时， 2,0,0 ， 2,4,0 ， 2,4,0 ， 0,0,4 ， 1,0,2 ．
所以 = 0,4,0 ， = 4,0,0 ， = 1,4, 2 ．
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设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
则 ⊥
1, 1, 1 0,4,0 = 0 1 = 0 ，取 = 1，可得 = 2
⊥ , , 1 11 1 1 1,4, 2 = 0 1 2 1 = 0
故 = 2,0,1 ．
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
⊥ 2, 2, 则 2
4,0,0 = 0 2 = 0
⊥ 2, 2, 2 1,4, 2 = 0
2 = 0，取 2 = 2，得 2 = 1，2 2
得 = 0,1,2 ．
所以 cos , = 2 2 = 5× 5 = 5．
2
所以二面角 的正弦值为： 1 2 = 215 5 ．
(3)设 0,0, ，(0 < < 4)， 0,4,0 ，则 = 0,4, ， = 2,0, ， = 0,0,4 ．
设平面 的法向量为 = , , ，则
⊥ , , 4,0,0 = 0 = 0


⊥ , , 0,4, = 0
4 = 0 ,
令 = 4，则 = ，取 = 0, , 4 ．
4
则 到平面 的距离为： 1 = = ， 2+16

到平面 4 4 的距离为： 2 = = ， 2+16
2 2
所以 21 + 22 =
16 + 4
2+16 = 16 × 2
8 +2
2+16
设 + 2 = ，则 ∈ 2,6
+2 1 1 5+1 20
那么 2+16 = 2 2+16 = 2 4 +20 = +20
≤
4 2 20 4
= 16 (当且仅当 = 即 = 2 5时取“=”)

所以 21 + 2 ≥ 16 2
5+1
2 2 = 16
3 5
2 = 8 3 5 ．
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