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2025-2026学年湖北省问津教育高一上学期 10月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | ≥ 2}， = { |1 ≤ < 4}，则 ∪ =( )
A. { |1 ≤ < 2} B. { | < 4} C. { |2 ≤ < 4} D. { | ≥ 1}
2.已知命题 : > 0，方程 2 + = 0 至少有 1 解，则 为( )
A. > 0，方程 2 + = 0 无解
B. > 0，方程 2 + = 0 至多有 1 解
C. > 0，方程 2 + = 0 至多 1 解
D. ≤ 0，方程 2 + = 0 无解
3.设 ∈ ，则“0 < < 5”是“| 1| ≤ 1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列函数中，最小值是 2 2的是( )
A. = + 2 B. =
3 + 1 C. = 2 + 2 2 3 2+4 D. = +
5.甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长
之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，那么，这四名
同学服务时长按照从大到小的顺序排列为( )
A.乙、甲、丙、丁 B.丁、甲、乙、丙 C.丁、乙、丙、甲 D.甲、丁、乙、丙
6.已知集合 = { ∈ || | ≤ 1}， = { ∈ |( + 1)( 2) < 0}，则集合 = { | = + , ∈ , ∈ }的
非空真子集个数为( )
A. 2 B. 14 C. 6 D. 8
7 3 1.正实数 ， 满足 + 3 = 6，不等式 + >
2 恒成立，则实数 取值范围是( )
A. { | 3 < < 4} B. { | < 3 或 > 4}
C. { | 1 < < 2} D. { | < 1 或 > 2}
8.函数 = [ ]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[ ]表示不大于 的最大整数，如[1.5] = 1，[
2.3] = 3，[3] = 3. 7 2[ ]那么不等式 [ ] 1 ≥ 0 成立的充分不必要条件是( )
A. { |1 ≤ ≤ 72 } B. { |2 ≤ < 3} C. { |2 ≤ < 4} D. { |2 ≤ ≤ 4}
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列四个命题中正确的是( )
A.方程 2 + ( 3)2 = 0 的解集为{2,3}
B. 2 + 4 > 0,满足 1 + ≥ 2 1的整数解的集合为{ 1,0,1,2}
3
C.由实数 ， ，| |， 2， 3所组成的集合最多含 2 个元素
D. = { | 63 ∈ ， ∈ }中含有 3 个元素
10.下列说法正确的是( )
A.若 1 < + < 4，2 < < 3，则 52 < 3 + 2 <
25
2
B.若实数 、 、 满足 2 + 2 + 2 = 2，则 1 ≤ + + ≤ 2
C.若 > 0， > 0， = + + 3，则 的最小值是 9
D.若 > 0， > 0， + 2 = ，则 + 2 + 的最小值是 4 2 + 4
11.对任意 ， ，记 = { | ∈ ∪ , ∩ }，并称 为集合 ， 的对称差.下列命题中，
是真命题的为( )
A.若 = { 1,0,1}， = {0,1,2}，则 = { 1,2}
B.若 = { | 1 ≤ ≤ 1}， = { |0 ≤ ≤ 2}，则 = { | 1 ≤ ≤ 0} ∪ { |1 ≤ ≤ 2}
C.若 ， 且 = ，则 = ;若 ， 且 = ，则 =
D.存在 ， ，使得 ≠ ;存在 ， ，使得 =
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知集合 = { | 2 3 4 = 0}，若 中至多有一个元素，则实数 的取值集合是 ．
13.已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 4}，集合 = { |2 < < + 1}，且 ∈ ， ∈ 为假命题，则实数 的
取值范围为 ．
14.某小区连续三天举办公益活动，第一天有 190 人参加，第二天有 130 人参加，第三天有 180 人参加，
其中，前两天都参加的有 30 人，后两天都参加的有 40 人．第一天参加但第二天没参加活动的有 人，
这三天参加活动的最少有 人．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { |2 1 < < + 1}， = { | 1 ≤ ≤ 2}．
(1)若 = 1，求 ∪ ，( ) ∩ ;
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
(1)求函数 = (2 )( + 4)( 4 ≤ ≤ 2)的最大值;
2(2) +7 +10求函数 = +1 ( > 1)的取值范围;
(3) 1若 > 2， > 0， + = 2
1 2
，求2 1 + 的最小值并求出取最小值时 ， 的值．
17.(本小题 15 分)
已知命题 : ∈ ， ≥ 2 + 2 ;
命题 : ∈ ( ∞, 3 42 )， < 2 + 2 3．
(1)分别求出 ， 为真命题时，实数 的取值范围;
(2)若 与 只有 1 个为假命题，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的十字
形地域.计划在正方形 上建一座花坛，造价为 4200 元/ 2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗
岩地坪，造价为 210 元/ 2;再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为 80 元/ 2.设 长为 ．
(1)现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为 64 ，求花岗岩地坪面积 的最大值;
(2)若十字形地域面积为 200 2，设总造价为 元，试建立 关于 的函数关系式，当 为何值时 最小，并求
出这个最小值．
19.(本小题 17 分)

已知集合 = { 1, 2, 3, 4}( ≠ 0， = 1，2，3，4)， = { | = , ∈ , ∈ , < }．
(1)若 = { 18, 9,3,6}，求 ;
(2)设 中所有的元素均为正数， 中元素的个数为 ( )，求 ( )的最小值;
(3)若 + 11 2 + 3 + 4 = 3， = { 2 , 1, , , }(
1
2 < < 0 < < 1 < )，求 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 916 ] ∪ {0}
13.( ∞, 2] ∪ [1, + ∞)
14.160；290
15.解：(1)当 = 1 时， = { | 3 < < 0}， = { | 1 ≤ ≤ 2}
∪ = { | 3 < ≤ 2}， = { | ≤ 3 或 ≥ 0}，
( ) ∩ = { |0 ≤ ≤ 2}
(2) ∵ ∩ = ，∴ ，
则当 = 时，2 1 ≥ + 1，解得 ≥ 2;
2 1 < + 1
当 ≠ 时， 2 1 ≥ 1 ，解得 0 ≤ ≤ 1，
+ 1 ≤ 2
综上，实数 的取值范围为{ |0 ≤ ≤ 1 或 ≥ 2}．
16.(1) ∵ 4 ≤ ≤ 2，∴ 2 ≥ 0， + 4 ≥ 0 由基本不等式有 (2 )( + 4) ≤ (2 )+( +4)2 = 3
当且仅当 2 = 4 + 即 = 1 时，等号成立∴函数的最大值为 3．
2
(2) ∵ > 1，∴ + 1 > 2 +7 +10， = +1 = ( + 1) +
4
+1 + 5
∵ + 1 = 4 +1，即 = 1 时，等号取不到
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4
∴ > 2 ( + 1) + 1 + 5 = 9
2∴ +7 +10函数 = +1 ( > 1)的取值范围为 > 9．
(3) ∵ > 12 ∴ 2 1 > 0，且 + = 2
1
，∴ 3 [(2 1) + 2 ] = 1
1 + 2 = 1 [(2 1) + 2 ]( 1 + 2 ) = 1 [5 + 2(2 1) 2 则2 1 3 2 1 3 + 2 1 ] ≥
1 (5 + 2 2(2 1) · 2 13 2 1 = 3 (5 + 4) =
3,
+ = 2 1 2
当且仅当 2(2 1) = 2 ，即 = = 1 时，等号成立，∴ 2 1 + 的最小值为 3，此时 = = 1． 2 1
17.解：(1) ∵ 2 2 + ≥ 0 的解集为 ，∴△= ( 2)2 4 ≤ 0，解得 ≥ 1，
所以命题 为真命题时，实数 的取值范围为[1, + ∞)
∵ ∈ ( ∞, 32 )，∴ 2 3 < 0，∴ 3 2 > 0，
3 2 + 4 43 2 ≥ 2 (3 2 ) × 3 2 = 4，
当且仅当 3 2 = 4 13 2 ，即 = 2时取等号，
∴ 2 3 + 42 3 ≤ 4，∴ 2 +
4
2 3 ≤ 1，
∴当 为真命题时， < 1
(2)当 < 1为真命题， 为假命题时， ≥ 1，∴ 1 ≤ < 1，
≥ 1当 为假命题， 为真命题时， < 1，∴满足条件的 不存在，
综上所述：实数 的取值范围为[ 1,1)．
18.解：(1)设 = ，灯带长度 = 4 + 4 2 = 64，即 + 2 = 16，
花岗岩地坪面积 = 4
∵ > 0， > 0 ∴ + 2 ≥ 2 2 ，
即 16 ≥ 2 2 ，可得 ≤ 32 2，则 4 ≤ 128 2
当且仅当 = 2 = 8 时取等，综上，面积 最大值为 128 2 2．
(2) ∵ 50两个相同的矩形构成的面积为 200 2，∴ 4 + 2 = 200，则 =

4且 > 0
∴ = 50

4，(0 < < 10 2)，
= 1 2 2 =
1
2 (
50 2
4 ) ，
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2
矩形 面积为 = ( 50

4 ) = 50

4，
正方形 面积为 2，
2
∴ = 4200 2 + 4 × (50 4 ) × 210 + 4 ×
1
2 (
50 )2 4 × 80 = 4000
2 + 38000 + 400000 2 ，(0 < < 10 2);
因此 = 38000 + 4000 2 + 400000 2 ≥ 38000 + 2 16 × 10
8 = 118000，
400000
当且仅当 4000 2 = 2 ，即 = 10时， min = 118000(元)，
故当 = 10，即 = 10时，总造价 有最小值 118000(元)．
19.解：(1)当 = 18， = 9 时， = 2;
当 = 18 ， = 3 时， = 6;
当 = 18， = 6 时， = 3;
当 = 9， = 3 时， = 3;
= 9 = 6 = 3当 ， 时， 2 ;
当 = 3 1， = 6 时， = 2，
故 = {2, 6, 3, 32 ,
1
2 }.
(2)设 0 < 1 1 11 < 2 < 3 < 4，则 > > > 0，2 3 4
则 ( ) ≥ 3．

令 1 2 3 2 3 = =2 3
= ，则 0 < < 1， 1 = 2 = 3 = 4 ，
4

即 1 2 2 1 = = , =
3．
3 4 4
因为 0 < 3 < 2 < ，所以此时 = , 2, 3 ，故 ( )的最小值为 3．
(3) 1 1因为 = 2 , 1, , , 2 < < 0 < < 1 < ，其中 3 个负数 2 个正数，
所以 1, 2, 3, 4中负数的个数为 1 或 2 或 3，设 1 < 2 < 3 < 4．

若 < 0 < < < ，则 0 < 2 < 1,0 < 2 < 1,0 < 31 2 3 4 < 1，3 4 4
因为 中元素 大于 1，所以不符合题意，舍去．
若 1 < 2 < 0 < 3 <

4，则
1
> 1 >
3
> 0,
1 2 2 1 1
< < < 0, < <
2
2 4 3 3 4 3 4
< 0．
4
1 1
因为 1 < 2 < < 0，所以 1 =
1
<
2 = 1 = < 2 = < 0，
3 3 4 2 4
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则 13 = 1， 4 = 2 1， 3 = 2 2，则 2 = 2 1，
所以 1 + 2 +
1 3
3 + 4 = 1 + 2 1 1 2 1 = 2 1 = 3，
解得 1 = 2，则 = 2, 1,2,4 ，
此时 = 1, 1 , 1 , 12 4 2 , 2 ，符合题意．
若 1 2 1 1 11 < 2 < 3 < 0 < 4，则 > 1, > 1,2 3
> 1, ≠ ．3 2 3
因为 中只有元素 大于 1，所以不符合题意，舍去．
综上所述， = 2, 1,2,4 ．
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