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第七章 概率
7.4 事件的独立性
1. 了解两个事件相互独立的概念；
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
情境：3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.
事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”；
事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.
思考：上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？
因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立；
我们知道，积事件就是事件与事件同时发生.
因此，积事件发生的概率一定与事件发生的概率有关.
问题1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件和，试判断事件发生与否会影响事件发生的概率吗？
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币：
“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
“第一次摸到球的标号小于3”，“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算两个试验中的 ，说说你有什么发现？
对于试验1，因两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币抛掷结果与第二枚硬币抛掷结果互相不受影响，所以事件发生与否不影响事件发生的概率；
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件发生与否也不影响事件发生的概率.
试验1：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则样本空间为
，包含4个等可能的样本点；
，，所以；
由古典概型概率计算公式，得 P(A) = P(B) = ，P(AB) = ，
于是 P(AB) = P(A)·P(B)；
发现：积事件的概率恰好等于与的乘积.
试验2：样本空间为，
，
，
；
所以，，于是也有.
发现：积事件的概率恰好等于与的乘积.
独立事件：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立.
延伸：由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立；这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件的影响；
同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响；
当然，它们也不影响其他事件是否发生.
问题2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件与事件相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证与，与，与是否独立，你有什么发现？
对于与，因为，而且与互斥，
所以
所以.
由事件的独立性定义，与相互独立.
我们知道，如果三个事件，两两互斥，那么概率加法公式：成立；
但当三个事件，两两独立时，等式一般不成立.（类似地，可以证明事件与，与也都相互独立）
例1：一个袋子中有标号分别为1， 2， 3， 4的4个球， 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，事件B = “第二次摸出球的标号小于3”， 那么事件A与事件B是否相互独立
B = {(1，2)， (2，1)， (3，1)， (3，2)， (4，1)， (4，2)}，
解：样本空间Ω = {(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}， 且m≠n}，共12个样本点.
A = {(1，2)， (1，3)， (1，4)， (2，1)， (2，3)， (2，4)}，
AB = {(1，2)， (2，1)}.
因此，事件A与事件B不独立.
例2：天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都降雨的概率； （2）甲、乙两地都不降雨的概率；
（3）至少一个地方降雨的概率.
解：（1）甲、乙两地都降雨的概率为0.2×0.3 = 0.06；
（2）甲、乙两地都不降雨的概率为 (1-0.2)×(1-0.3) = 0.8×0.7 = 0.56；
（3）解法一：至少一个地方降雨的概率为0.2×0.3+(1-0.2)×0.3+0.2×( 1-0.3) = 0.44；
解法二：由（2）知，甲、乙两地都不降雨的概率为0.56， 所以至少一个地方降雨的概率为1-0.56 = 0.44.
1.判断下列各组事件是否是相互独立事件.
(1)甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，“从甲组中选出一名男生”，与“从乙组中选出一名女生“
(2)容器内有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，从8个球中任意取出一个，“取出的是白球”与“从剩下的七个球中任意取出一个，取出的还是白球“
(1)“从甲组中选出一名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出一名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件；
(2)从8个球中任意取出一个，取出的是白球的概率为5/8，若这一事件发生了，则从剩下的7个球中任意取出一个，取出的还是白球的概率为4/7；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为5/7，可见前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.
2.掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥
解：事件A ={2，4，6}，事件B ={3，6}，事件AB ={6}，
样本点空间Ω ={1，2，3，4，5，6}；
所以P(A) = = ，P(B) = = ，P(AB) = = ×，即P(AB) = P(A)P(B)，
因此，事件A与B相互独立；
当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
B
1. 对任意两个事件A与B，如果 P(AB) = P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
2. 必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立.
3. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立.

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