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第七章 概率
7.3 频率与概率
1.了解频率的含义.
2.理解频率与概率的关系.
3.理解结合实例，会用频率估计概率解决实际问题.
1. 用频率估计概率
（1）《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对 2000名 18—35岁的青年进行的一项调查显示，在生活节奏加快的今天，70.0%的受访青年表示仍要培养古典诗词爱好，15.5%的人认为不需要，14.5%的人表示不好说. 随机选取一名18 ~ 35岁的青年，这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为多少？
（2）随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态，怎么确定瓶盖盖口朝下的概率？
上述两个问题，如果用古典概型来确定概率，显然是不太合适的，但是我们可以利用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值.
例如，可以重复做抛瓶盖试验若干次（设为n次），然后观察盖口朝下的次数（设为m次），最后用盖口朝下的频率 作为盖口朝下的概率的估计值.
尝试与发现：你觉得利用频率来估计概率的办法可靠吗？怎样检验这种方法的可靠性？
为了验证这种确定事件发生的概率的方法的可靠性，历史上很多学者做过了成千上万次抛均匀硬币的试验，得到的结果如下表所示.
试验者 抛掷次数 n 正面向上次数 m 正面向上频率
棣莫弗 2048 1061 0.5181
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
抛均匀硬币观察朝上的面时，利用古典概型可算得正面朝上的概率为 ，
不难看出，以上学者们所得到的频率值，都可以较好地作为正面朝上的概率的近似值；
事实上，大数定律能够保证，在大量重复的试验过程中，一个事件发生过的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.
一般地，如果在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的概率为 ，则当 n 很大时，可以认为事件 A 发生的概率 的估计值为 .
不难看出，此时也有 ，而且，可以验证，此时两对立事件的概率和为 1 以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立；
这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率.
解：因为 ，所以估计这类种子的发芽率为 0.903.
例1：为了确定某类种子的发芽率，从一大批这类种子中随机抽取了 2000 粒试种，后来观察到有 1806 粒发了芽，试估计这类种子的发芽率.
例2：据统计，2013 年北京地区拥有科普人员 48800 人，其中科普专职人员 7727 人，其余均为科普兼职人员. 2013 年 9 月的科普日活动中，到清华大学附属中学宣讲科普知识的是科普人张明，估计张明是科普专职人员的概率（精确到 0.01）.
解：可以算得，2013 年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比例为：
，由此可估计，张明是科普专职人员的概率为 0.16 .
例3：某女篮运动员统计了她最近几次参加比赛投篮的得分情况，得到的数据如下表所示.
注：每次投篮，要么得两分，要么得三分，要么没投中.
投篮次数 投中两分的次数 投中三分的次数
75 45 12
解：因为 ， ，所以可以估计 P(A) = 0.6，P(B) = 0.16；
注意到 ，而且 A 与 B 互斥，
因此估计
例4：为了了解某次数学考试全校学生的得分情况，数学老师随机选取了若干名学生的成绩，并以 [50，60)，[60，70)，…，[90，100] 为分组，作出了如图所示的频率分布直方图. 从该学校中随机选取一名学生，估计这名学生该次数学考试成绩在 [90，100] 内的概率.
解：由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在[90，100]内的频率为0.01×(100-90) = 0.1；
因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在[90，100]内的频率可以估计为 0.1.
故随机选取一名学生，这名学生该次数学考试成绩在[90，100]内的概率可以估计为 0.1 .
方法归纳：在用频率估计概率时，不同的试验结果可能会产生不同的估计值.以发芽率为例，即使在一次试验中估计的结果为 0.903，也不代表下一次种 10000 粒种子时，就有 9030 粒种子发芽，只能说发芽的种子接近 9030 粒.
2.用计算机模拟抛硬币和掷骰子
利用计算机软件生成随机数的函数，可以模拟抛均匀硬币和掷均匀骰子的试验，从而可以帮助我们更好地理解用频率估计概率的合理性；
例如，如果用 1 表示出现正面，0 表示出现反面，则在 Excel 中可用函数 RANDBETWEEN 来模拟抛均匀硬币.
右图是模拟结果，其中产生数据的每个单元格输入的都是：
“(0，1) = RANDBETWEEN ”.
用 RANDBETWEEN 也可以模拟掷均匀骰子的试验，不过在每个单元格输入的公式应为：
“(1，6) = RANDBETWEEN ”.
1.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)
A．概率为 B．频率为 C．频率为8 D．概率接近于8
解：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.
如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故 = 为事件A的频率．
B
2.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了______次试验．

解：设共进行了n次试验，则 = 0.02，解得n = 500.
500
3.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图：
（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，
试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，
且样本中分数不小于70的男女生人数相等.
试估计总体中男生和女生人数的比例.
解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10 = 0.6，所以样本中分数小于70的频率为1-0.6 = 0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4；
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10 = 0.9，
分数在区间[40，50)内的人数为100-100×0.9-5 = 5，
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400× = 20；
（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100 = 60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×0.5= 30，
所以样本中的男生人数为30×2 = 60，女生人数为100-60 = 40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60 : 40 = 3 : 2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3 : 2.
1.用频率估计概率的定义；
2.在用频率估计概率时，不同试验结果可能会产生不同的估计值；
3.用计算机模拟抛硬币和掷骰子.

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