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第七章 概率
7.2.2 互斥事件与对立事件的概率
1.理解互斥事件概率加法公式、对立事件的概率公式，并能应用公式解决问题.
2.能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的互斥事件的概率计算问题.
3.了解一般概率加法公式及适用条件.
知识点一：概率的加法公式
如果Ω中的事件A与事件B互斥，则P(A = __________．
归纳：利用这个公式时一定要注意A与B互斥这一条件．
知识点二：对立事件的概率
若事件A是样本空间Ω的事件，则P() = _________．
归纳：(1)对立事件的概率公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用；
(2)当一个事件的概率不易直接求出，但其对立事件的概率易求时，可运用对立事件的概率公式，即可使用间接法求概率．
P(A)＋P(B)
1－P(A)
知识点三：一般概率加法公式
若事件A，B是样本空间Ω的事件，则P(A = ．
归纳：(1)事件A，B的交A也即事件A，B同时发生．
(2)事件A，B的并A也即事件A，B中至少有一个发生．
(3)一般概率加法公式可表述为：两个事件的并的概率，等于这两个事件的概率的和与这两个事件的交的概率之差．
P(A)＋P(B)－P(A
题型 1：利用概率的加法公式求概率
例1：黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
血型 A B AB O
该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35
解：对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的；
由已知，有P(A′) = 0.28，P(B′) = 0.29，P(C′) = 0.08，P(D′) = 0.35.
(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：
P(B′＋D′) = P(B′)＋P(D′) = 0.29＋0.35 = 0.64；
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得：
P(A′＋C′) = P(A′)＋P(C′) = 0.28＋0.08 = 0.36.
方法归纳：运用概率的加法公式解题的步骤：
(1)确定题中哪些事件彼此互斥；
(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；
(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
题型 2：对立事件的概率
例2：一盒中装有4种除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，
取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为. 求：
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．
解：记事件A1 = {任取1球为红球}，A2 = {任取1球为黑球}，A3 = {任取1球为白球}，A4 = {任取1球为绿球}，则P(A1) = ，P(A2) = ，P(A3) = ，P(A4) = .
根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥；
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A1 = P(A1)＋P(A2) = = ；
(2)（方法一）“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为：
P(A1 = P(A1)＋P(A2)＋P(A3) = = ；
（方法二）“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，
即A1的对立事件为A4，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为：
P(A1 = 1－P(A4) = 1－ = .
方法归纳：
(1)当事件A的概率不易求，直接计算概率比较烦琐时，可先间接地计算其对立事件B的概率，再由公式P(A)＋P(B) = 1求其概率．
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件；该公式常用于“至少”“至多”型问题的求解．
题型3：一般概率加法公式的应用
例3：如图，一个长方形由3部分构成，这3部分必须分别涂上不同的颜色，现有红、黄、蓝、黑四种颜色可供选择，计算下列事件的概率：
(1)红色被选中；(2)第1部分是黑色或第2部分是红色．
解：(1)样本空间共有24个样本点，“红色不被选中”有6个样本点，
∴“红色被选中”的概率为P = 1－ = ；
(2)“第1部分是黑色”有6个样本点，“第2部分是红色”有6个样本点，
“第1部分是黑色且第2部分是红色”有2个样本点，
故“第1部分是黑色或第2部分是红色”概率为P(A = = .
概率加法公式和一般概率加法公式的区别在于A，B是否互斥．
1．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A是事件B的对立事件)发生的概率是 (　　)
A． B． C． D．
C
解：由题意可知事件C表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件C是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可得P(A = P(A)＋P(C) = = .
2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 (　　)
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
C
解：摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1-0.42-0.28 = 0.3.
3．A，B是两个随机事件，已知P(A) = 0.34，P(B) = 0.32，P(A = 0.31，
则P(A = (　　)
A．0.66 B．0.65 C．0.35 D．0.34
C
解：∵P(A) = 0.34，P(B) = 0.32，P(AB) = 0.31，
∴P(A = P(A)＋P(B)－P(AB) = 0.34＋0.32－0.31 = 0.35.
4．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

解：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 = .

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