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第六章 统计
6.4.2 分层随机抽样的期望与方差
1.通过实际问题的分析和求解，理解分层随机抽样的均值推导过程，会求分层随机抽样的均值；
2.理解分层随机抽样的方差推导过程，会求分层随机抽样的方差.
回顾：
1.分层随机抽样的概念：将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体的抽样方法.
2.分层随机抽样的优点：抽样具有代表性、准确反映总体特征.
3.分层随机抽样适用范围：适用于总体的分成有明显差别、互不交叠的几部分构成.
4.分层随机抽样步骤：
（1）计算样本容量与总体的个数之比；
（2）将总体分成互不交叉的层，按比例确定每层要抽取的个体；
（3）用简单随机抽样在各层中抽取相应数量的个体；
（4）将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本.
1. 分层随机抽样的平均数和方差：如果知道样本中的每一个数据，那么可以通过计算得到这组数据的平均数和方差；因此，在利用分层随机抽样得到样本后，可以对某学校高一年级，算出样本平均数和样本方差.
问题1：对某学校高一年级，如果只知道甲班和乙班的各班数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名学生的成绩，应如何计算整个高一年级数学的平均成绩
例1：某公司的高收入员工月平均工资是11 000元，中等收入员工月平均工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元. 能否认为该公司员工的月平均工资收入是 元 这样计算平均数的方法合理吗
解：在这个问题中，如果该公司有1 000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者，那么由于每一类员工所占比例不同，因此上述计算方法显然不合理.
例2：甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭，他们分别在 A，B 两个网站查看同一家餐馆的好评率. 甲在网站 A 查到的好评率是 98%，而乙在网站 B查到的好评率是 85%. 综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的好评率
解：好评率是由好评人数除以总评价人数得到的；98%的好评率意味着如果有100人评价，那么有98人给了好评.
设在网站 A 评价该餐馆的人数为 n1，其中给出好评的人数为 m1；
在网站 B 评价该餐馆的人数为 n2，其中给出好评的人数为 m2.
由题可知， ， ，综上，这家餐馆的总好评率应为 ；
其中， 和 分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其权重乘积的和；所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率；
由以上分析可知，当且仅当 n1 = n2 时，总好评率等于
化简得：
一般地，将样本 和样本 合成一组新样本，这组新样本的平均数为
于是，当已知两层构成的样本中每层的平均数分别为 和 时，可以得到这个样本的平均数 .
记 则这个样本的平均数为 ，其中 称为权重；设样本中不同层的平均数和相应权重分别为 和
则这个样本的平均数为 为了简化表示，引进求和符号，记作
例3：A、B 两班参加了同一考试，其中 A 班50人，B 班40人，A 班的平均数是80.5分，方差为500；B 班的平均数为85分，方差为360. 那么 A、B 两班全部90 名学生的平均成绩和方差是多少？
解：设甲班 50 名学生的成绩分别是 ，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为：
设乙班 40 名学生的成绩分别是 ，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为
如果不知道 和 ，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，根据以上分析，考点全部 90 名学生的平均成绩应为：
分；而全部90名学生的方差为：
如果知道 和 ，那么全部90名学生的方差为：
设样本中不同层的平均数分别为 ，方差分别为 ，
相应的权重分别为 ，则这个样本的方差为：
1.分层随机抽样的平均数的求法；
2.分层随机抽样的方差的求法.

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