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第六章 统计
6.4.3 百分位数
1.正确理解第p百分位数的概念，掌握求n个数据的第p百分位数的方法.
2.能通过频率分布直方图熟练求解第p百分位数.
问题：如果该市政府希望使80%的居民生活用水费用支出不受影响，根据下列100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水标准的建议吗？
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0
2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5
2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9
2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0
22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9
5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7
5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8
7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
　　把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8. 可以发现，区间(13.6， 13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.
一般地，我们取这两个数的平均数 13.7，并称此数为这组数据的第80百分位数，或80%分位数.
首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用水量标准，就是寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量不超过a的占80%，大于a的占20%. 下面我们通过样本数据对a的值进行估计.
总体百分位数的估计
（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 百分位数简称为分位数.
（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算 i ＝ n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
百分位数
直观来说，一组数的第p位百分位数指的是讲这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p％位置的数．
　　中位数相当于是第50百分数，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等
四分位数
思考：(1) 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？
(2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
(1)不是，是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．
(2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
例1：下表是树人中学高一年级女生的身高数据，估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数.
解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得：
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164；
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161，164.
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
例2：根据下表，估计月均用水量的样本数据的80%分位数.
解：由表可知，月均用水量在 13.2 t 以下的居民用户所占比例为23% + 32% + 13% + 9% = 77%；
在 16.2 t 以下的居民用户所占的比例为77% + 9% = 86%；
因此， 80%分位数一定位[13.2，16.2)内；
由 可以估计月均用水量的样本数据的 80% 分位数约为 14.2.
1．思考辨析 (正确的画“√”，错误的画“×”)
（1）若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数． ( 　)
（2）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23． (　 )
（3）若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24． (　 )
（4）第50百分位数一定是这组数据中的一个数据． (　 )
（5）对于第95百分位数，总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是95%． (　 )
√
√
×
×
×
2.已知甲、乙两组数据如下：
甲：1、2、2、2、2、3、3、3、5、5、6、6、8、8、9、10、10、12、13、13；
乙：0、0、0、0、1、1、2、3、4、5、6、6、7、7、10、14、14、14、14、15；
则甲、乙两组数据的第25%分位数分别为______，_______；
第75%分位数分别为_______，_______.
2.5 1
9.5 12
3.如图所示是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数)
解：由频率分布直方图可知，
分数在120分以下的学生所占的比例为
；
分数在130分以下的学生所占的比例为
因此，80%分位数一定位于内.
方法一：由
方法二：设第80百分位数为则：解得；故此班的模拟考试成绩的80%约为124.44.
方法归纳：频率分布直方图中第p百分位数的计算
1. 确定百分位数所在的区间.
2. 确定小于和小于的数据所占的百分比分别为，则第百分位数为
1.百分位数的概念.
2.求百分位数的步骤：
（1）按从小到大排列原始数据；（2）计算；
（3）若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；
若是整数，则第百分位数分位数为第项与第项数据的平均数.
3.四分位数.

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