资源简介

(共17张PPT)
第六章 统计
6.4.1 样本的数字特征
1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点；
2.会计算一组数据的众数、平均数、中位数、方差与标准差；
3.能够选择适当的数字特征来表达数据的信息，体会统计思想.
情境：下面是某学校高一（1）班和高一（2）班的某一次期中考试的语文成绩，说说可以从那些角度对两班成绩进行分析.
高一（1）班期中考试的语文成绩 69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 73
66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88
高一（2）班期中考试的语文成绩 76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78
70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84
在日常生活中，当面对一组数据时，相对于每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据的一些值.
例如，上述两个班级的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较 .
高一（1）班期中考试的语文成绩 69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 73
66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88
高一（2）班期中考试的语文成绩 76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78
70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84
1. 最值：指的是一组数据中的最大值和最小值；最值反映的是这组数据最极端的情况，一般的最大值用max表示，最小值用min表示.
有时候，生活中我们只关心数据的最值；如：高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩最大值计入总成绩等.
2. 平均数：就是一组数的平均，设有 n 个数据 x1，x2，···，xn ，则这组数据的平均数为： = ，简记为： = ；
求和符号∑的性质：+ ；
=k；
试着证明下列结论：一般地，利用平均值的公式可知，若 x1，x2···xn的平均值为 ，且 a，b 为常数，则 ax1 + b，ax2 + b，···，axn + b 的平均数为 a + b .
证明： = (a)= a(a)+b = a+b.
已知：平均数会受每一个数值的影响，尤其是最大值、最小值；例如，比赛时评委对参赛选手进行评分后，为了避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最高分和最低分后，再计算平均数.
思考：但是计算总数和计算平均数不会有本质区别，说一说为什么？
问题1：有甲、乙两个组，每组有 6 名成员，他们暑假读书的本数如下：
甲组：1，2，3，3，4，5； 乙组：0，0，1，2，3，12.
（1）分别求出两组数据的平均数；
（2）平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置 如果没有，可以选择什么数表示？
3.中位数：一组数据从小到大或从大到小的顺序进行排列时，处于中间位置的数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数；
（1）当数据个数为奇数时，中位数指的是中间位置的数值；即当奇数个数从小到大排列后为x1，x2，···，x2n+1 ，称xn+1为这组数的中位数；
（2）当数据个数为偶数时，中位数指的是中间两个数的平均值；即当偶数个数从小到大排列后为x1，x2，···，x2n，称为这组数的中位数.
4. 众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为频数，出现频数最多的数据
称为这组数据的众数.
5. 极差、方差与标准差
（1）极差：一组数的最大值减去最小值所得的差.
（2）方差： ① 若 x1，x2，···，xn 的平均数为 ，则方差为 s2 = ；
② 若a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，···，axn+b的方差为a2s2；
证明②：=
= = = s2.
（3）标准差：方差的算数平方根.
① 一组数中各值都相等，则标准差为 0，即数据无波动，无离散性；
若标准差较大，即数据波动较大，离散程度高.
② 描述了数据相对于平均数的离散程度.
例：计算下各组数的平均值与方差.
（1）18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5；
（2）2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6.
解：（1）将每个数乘以 10 减去 190，可得 -1，5，5，2，0，-2，5.
故这组新数的平均数为 = = 2；方差为 s2 = = 8，
因此第一组数的平均数为19.2，方差为0.08；
（2）可将这组数据整理为：
x 2 3 4 5 6
频数 3 4 5 6 2
每个数减去4可得：
x -2 -1 0 1 2
频数 3 4 5 6 2
这组数据的平均数和方差分别为0，，故原数据的平均数为4，方差为 .
例：计算下各组数的平均值与方差.
（2）2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6.
1.已知一组数据10，30，50，50，60，70，80. 其中平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）
A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数
D
分析：由所给数据可得平均数为50，中位数为50，众数为50，因此众数 =中位数 = 平均数.
2. 某高一学生 2026 年上学期政治考试成绩如下：
79 79 84 84 86 84 87 90 90 97
则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为（ ）
A. 85 84 B. 84 85 C. 86 84 D. 84 86
C
分析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥较稳定，应派丙去参赛最合适.丙根据今天所学，回答下列问题：
（1）样本的数字特征有哪些？
（2）如果你作为一名决策者，你在处理数量化表示的实际问题时需要注意些什么？

展开更多......

收起↑