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第六章 统计
6.3.2 频率分布直方图
1.能够对数据进行分析列频数分布表,画频率分布直方图、频率折线图.
2.会用样本的频率分布估计总体分布.
情境：为了解本市居民的生活成本，甲同学利用假期对所在社区进行“家庭数”和“家庭每月消费额”的调查. 他把调查得到的消费额按大小进行分组，并计算出每组数据在整个数据中所占的百分比——频率，结果如下表.
频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小；
当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积来表示.
根据表格可以画出右图，图中每个矩形的底边长是该组的组距，矩形的高是该组的频率与组距的比，从而矩形的面积等于这个组的频率，即：矩形的面积 = ，我们把这样的图叫做频率分布直方图.
例1：1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土. 经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫. 人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下(单位mm)，请估计在1665~1666年，英国男性头盖骨宽度分布情况.
解：总体是1665~1666年的英国男性头盖骨宽度，我们要通过上面挖掘出土得到的样本信息，来估计总体的分布情况；
因为总体分布是指总体中每类(组)个体所占的比例(百分比)，所以我们需要将样本中每类(组)个体所占的比例整理、表达出来.
一、作直方图的步骤
1.找出最值，计算极差：上述宽度的最小值是121，最大值是158，故极差是
158-121=37，这说明样本观测数据的变化范围是37mm；
2.合理分组，确定区间：数据共有106个，可以分为5-12组，并且按照从121mm开始，组距为5mm，则 ，即这里可以将数据分成8组，确定计数区间，即区间为[120，125)，[125，130)……[155，160)；
3.整理数据：逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率).
4.列表，统计各组的信息.
5.画频率分布直方图.
频数分布直方图和频率分布直方图的特征：
1.频数分布直方图的纵坐标是：频数，每一组数的对应的矩形的高度和频数成正比；
2. 频率分布直方图的纵坐标是： ，每一组数的对应的矩形的高度和频率成正比；
3.频率分布直方图中每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，故频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1；
4.当样本容量较大时，样本中落在每个区间内个体的频率会稳定于总体在相应区间内取值的比例；因此，可以用样本的频率分布直方图来估计总体在相应区间内取值的比例，也就是总体的分布情况.
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间；从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线(如下图)，称之为频率折线图，有时也用它来估计总体的分布情况.
在上面的例子中，虽然我们是用样本数据的频率来估计总体的分布，与真正的总体分布是有差别的，但是当样本量不断增大时，样本中落在每个区间内的个体的频率会越来越稳定于总体在相应区间内取值的比例；也就是说，一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越准确.
练一练：为了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110及以上为达标，则该校
学生高一年级学生的达标率是多少？
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110及以上为达标，则该校学生高一年级学生的达标率是多少？
解：（1）频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为： ；
又因为第二小组的频率 = ，故样本容量= .
（2）由直方图可估计高一年级学生的达标率为：
1.频率分布直方图的性质
（1）因为小矩形的面积等 = =频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率；这样频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
（2）在频率分布直方图中，各小矩形面积之和等于1；
（3） =样本容量；
2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似的估计总体在这一范围内的可能性.

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