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2025-2026学年浙江省六校联盟高二上学期 10月联考
数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 ： + + 3 = 0 和直线 ：3 2 + 2 + 1 = 0，则“ = 1”是“ // ”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知圆锥的轴截面是边长为 2 3的等边三角形，该圆锥的体积为
A. 3 3 B. 3 32 C. 3 D. 3
3.关于空间向量，以下说法错误的是( )
A.空间中的任意三个向量，若其中两个向量共线，则这三个向量一定共面
B.若 < 0，则 与 的夹角是钝角
C.已知向量 , , 是不共面的向量，则 3 , , 也是不共面的向量
D. 1 1 1若对空间中任意一点 ，有 = 12 + 4
3 ，则 , , , 四点共面
4.直线 sin + 33 1 = 0 的倾斜角的取值范围为
A. 2 5 3 , 3 B. 0, 6 ∪ 2 , 6 C. 0,
2 2
3 ∪ 3 , D. 0, 3 ∪ 3 ,
5.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，点 是棱 1的中点，
连接 1 、 1交于点 ，则( )
A. = 2 1 3 3 +
1 B. =
1 + 1 2 2 1

C. = 2 + + 2 3 3 1 D.
= 13
+ 2 3 1

6.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 4， 为 的中点，则点 1到平面 1的距离等于( )
A. 4 63 B. 3 C.
4 3
3 D. 6
7.已知直线 : 2 = 0 与圆 : ( 1)2 + 2 = 8 交于 ， 两点，点 在圆 上，且 // ，若
= 4，则| | =( )
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A. 2 3 B. 4 C. 2 6 D. 4 3
8.已知函数 ( ) = sin , ( ) = cos ，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是
A. = ( ) + ( )和 = ( ) B. = 2( ) 2( )和 = ( ) ( )
C. = ( ) 和 = ( ) D. = ( ) 和 = ( )
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < )的部分图象如图所示，则( )
A. ( )的最小正周期为
B. = 3
C. ( ) 4 的图象关于点( 3 , 0)中心对称
D.将 ( )图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 ( )的图象，则 ( )是区间
[ , 7 4 ]上的增函数
10.已知圆 : 2 + 2 = 8，则( )
A.圆 与直线 + 2 = 0 必有两个交点
B.圆 上存在 3 个点到直线 : + 2 2 = 0 的距离都等于 2
C.若圆 与圆 2 + 2 6 8 + = 0 恰有三条公切线，则 = 20 2 8
D.已知动点 在直线 + 6 = 0 上，过点 向圆 引两条切线， ， 为切点，则| || |的最小值为 8 5
11.已知棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 1， ， 1的中点，则下列正确的是
( )
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A. 1 = 1 1
B. 1 ⊥
C.若点 2是正方体表面上一动点且满足 ⊥ ，则点 的轨迹长度为 2 + 2 5
D.已知平面 过点 且 ⊥ ，若 ∈ ，且| | = 2| 1|，则
16 2
点的轨迹长度为 9
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.临平是生态宜居的福地。地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是
典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”。境内拥有江南三大赏梅胜地之一
超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观。现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，
已知每人都只去 1 1 1 1 1 1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是4 , 4 , 2和6 , 2 ,
1
3，则甲、乙打卡不
相同景点的概率为 ．
13.在三棱锥 中，△ 是边长为 3 的正三角形，且 = 2 3， = 3二面角 的大

小为2，则此三棱锥外接球的表面积为 ．
14.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且满足 (1 + ) + (3 ) = 0，当 ∈ [ 2,0]时， ( ) = 1 ( + 1)2，
若函数 = ( )与直线 = ( 2)的图像所有交点的横坐标之和为 6，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 200 天的日销售量(单位： )，将全部数据按区间
[50,60), [60,70), , [90,100]分成 5 组，得到图所示的频率分布直方图．
(1)求图中 的值；并估计该水果店过去 200 天苹果日销售量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表)；
(2)若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能
85%地满足顾客的需要(在 100 天中，大约有 85 天可以满足顾客的需求).请问，每天应该进多少水果
(3)在日销售量为[70,90]kg 苹果中用分层抽样方式随机抽 6 个苹果，再从这 6 苹果中随机抽取 2 个苹果，
求抽取 2 个苹果都来自日销售量在[80,90]的概率．
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16.(本小题 15 分)
如图，在多面体 中，已知四边形 是菱形， ⊥平面 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2) 2若 = 4， = 6， = 3， // ， 与平面 所成角的正弦值为5，求三棱锥 的体积．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，tan + tan = 2sin cos ， = 5， = 8．
(1)求角 的大小;
(2)求 cos ;
(3) 若线段 上点 满足∠ = 6，求 的长．
18.(本小题 17 分)
如图，已知四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面 是等边三角形， = 2 = 2， ⊥ ，
二面角 2 的大小为 3， , 分别为 和 的中点．
(1)求证 //平面
(2)求 与平面 所成角的正弦值；
(3)设 为侧棱 上一点，四边形 是过 ， 两点的截面，分别交 , 于 , 两点，且 //平面 ，
5
是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
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如图所示，圆 ： 2 + 2 = 4 与 x 轴的交点分别为 C, D，过点 ( 1,0)的直线 与圆 交于 , 两点．
(1)若弦 的长为 14，求直线 的方程
(2)记直线 AD, BC 的斜率分别为 1, 22，求 的值；1
(3) 设 G 为直线 AD 与 BC 的交点，△ ，△ 的面积分别为 11, 2，求 的取值范围．2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13.15
14.{ 24 } ∪ (
6
12 , + ∞)
15.解：(1)由直方图可得样本落在[50,60), [60,70)，…，[90,100]的频率分别为 10 ，10 ，0.2，0.4，0.3，
由 10 + 10 + 0.2 + 0.4 + 0.3 = 1，解得 = 0.005，
则样本落在[50,60), [60,70)，…，[90,100]频率分别为 0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以该苹果日销售量的平均值为：
0.05 × 50+602 + 0.05 ×
60+70
2 + 0.2 ×
70+80 80+90 90+100
2 + 0.4 × 2 + 0.3 × 2 = 83.5 kg ；
(2)为了能 85％地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的 85％分位数，
依题意日销售量不超过 90kg 的频率为 1 0.03 × 10 = 0.7，
则该店苹果日销售量的 85％分位数在[90,100]，
85 90 + 10 × 0.85 0.7所以日销售量的 ％分位数为 1 0.7 = 95 kg ，
所以每天应该进 95kg 苹果；
(3)由日销售量为[70,80), [80,90]的频率分别为 0.2，0.4 知，
抽取的苹果来自日销售量[70,80)中的有 2 个，不妨记为 1, 2，
来自日销售量为[80,90]的苹果有 4 个，不妨记为 1, 2, 3, 4，
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任意抽取 2 个苹果，有 1, 2 , 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , 1, 2 ，
1, 3 , 1, 4 , 2, 3 , 2, 4 , 3, 4 ，共有 15 个样本点，
2 6其中 个苹果都来自日销售[80,90]中的有 6 个样本点，由古典概型可得 = 15 =
2
5．
16.(1)证明：如图，设 与 交于点 ，
因为四边形 是菱形，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， / / ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
连接 ，则∠ 即为 与平面 所成的角，
所以 sin∠ = =
2
5，
因为 = 4， = 3，
所以 = 5，
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所以 = 2，
所以 = 2 = 4，
所以△ 是等边三角形．
因为 / / ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
所以 =
=
1
= 3 △
1 1 3
= 3 × 2 × 4 × 4 × 2 × 3
= 4 3．
17.解：(1) 2sin 因为 tan + tan = cos ，
sin + sin = 2sin 所以cos cos cos ，
sin cos +cos sin 2sin
所以 cos cos = cos ，
根据两角和的正弦公式 sin( + ) = sin cos + cos sin ，
sin( + ) = 2sin 可得cos cos cos ，
因为 + + = ，
所以 + = ，
则 sin( + ) = sin( ) = sin ，
sin 2sin
代入上式可得cos cos = cos ，
因为 0 < < ，
所以 sin ≠ 0，
1
等式两边同时除以 sin ，可得cos cos =
2
cos ，
1
所以cos = 2，即 cos =
1
2，
又因为 0 < < ，
= 所以 3；
(2)因为 = 5 ， = 8， = 3，
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根据余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
可得 2 = 52 + 82 2 × 5 × 8 × 12 = 25 + 64 40 = 49，
所以 = 7，
52+72 82 1
根据余弦定理得 cos = 2×5×7 = 7；
(3)因为∠ = 6，
所以∠ = = 5 6 6 ，
sin∠ = sin( 5 ) = sin 5 cos cos 5 所以 6 6 6 sin ，
代入 sin = 4 37 ，cos =
1
7，可得 sin∠ =
1
2 ×
1
7 (
3
2 ) ×
4 3
7 =
13
14，
7×4 3
根据正弦定理 = ，可得 =
= 7 = 56 3．
∠ ∠ 13 13
14
18.解：(1)取 的中点 ，连接 ， ， ，
在△ 中， ， 分别为 和 的中点，
所以 // 且长为 的一半，
又因为底面 为平行四边形， 为 的中点，
所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
∴ // ，
又 面 ， 面 ，
所以 / /平面 ;
(2)取 的中点 ，连接 ，
由 ⊥ ，则 ⊥ ．
所以，分别以 ， 所在直线为 轴和 轴，以过 垂直于底面的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
( 1 1 3 1则 3 32 , 0,0)， ( 2 , 3, 0)， ( 2 , 3, 0)， ( 2 , 0,0)， (0, 4 , )，4
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
· = 0 = 0则 ，即 3 3 ,
· = 0 4 + 4 = 0
令 = 1，则 = 3， = 0，所以平面 的一个法向量 = (0, 3, 1)，
又 = ( 32 ,
5 3 , 3 )，4 4
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设 与平面 所成角为 ，
· 3 30
则 sin = |cos < ， > | = | | = =| || | 2· 9+75+ 9 10 ，4 16 16
所以 与平面 所成角的正弦值为 30
10 ;
(3) ∵ //平面 ，平面 ∩平面 = ，∴ / / ，
不妨设 = (0 < ≤ 1)．
则 = + = + = ( 12 (1 + ),
3
4 ( 1),
3
4 (1 ))，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

由 // ，则 · = 0 ,
· = 0
12 (1 + ) +
3
4 ( 1) +
3
4 (1 ) = 0即 ,
3 = 0
令 = 1，则 = 0， = 23 ×
1+
1 ，
所以 = (1,0, 2 × 1+ 3 1 )，
设平面 与平面 夹角为 ，
则又有(2)可知平面 的法向量 = (0, 3, 1)，
·
则由题意：cos = |cos < ， > | = | | || | |
| 21+ | 5
= 31 =
2· 1+ (21+
5
)231
2 × 1+ 令3 1 = ，则 5 = 2 1 +
2，得 2 = 4，所以 =± 2，
当 = 2 时， = 2(舍去)，
所以当 = 2 时， = 12，此时 = (1,0,2)，
不妨设 = (0 < ≤ 1)，
则 = + = ( 2 + 32 , 3
5 3 , 3 )，4 4
又因为平面 的法向量 = (1,0,2)，
∴ = 0 3 3 2，即 2 + 2 + 2 = 0，得 = 3，
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2
所以存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 5，此时 = ．
5 3
2
19.解：(1)因为直线 与圆 交于 、 两点，且弦 的长为 14，所以点 到直线 的距离为 22 14 2，2 = 2
而直线 过点 ( 1,0)，因此直线 的斜率存在，不妨设直线 的方程为 = ( + 1)，即 + = 0，
所以由点 到直线 + = 0 2的距离为 2得： = ，解得 =± 1，
2 1+ 2 2
因此直线 的方程为： + 1 = 0 或 + + 1 = 0．
(2)因为 1 ≠ 0，所以直线 的斜率不为 0，而直线 过点 ( 1,0)，
因此设直线 的方程为： = 1，且 ( 1, 1)， ( 2, 2).
= 1
由 2 + 2 = 4得：(
2 + 1) 2 2 3 = 0， = 16 2 + 12 > 0，
2 3
因此 1 + 2 = 2+1， 1 2 = 2+1，
所以 2 1 + 3 + =
6 6 3
2 1 2 2+1 + 2+1 = 0，即 1 2 = 2 1 + 2 ．
因为 2,0 、 2,0 ，而直线 过点 ( 1,0)且斜率不为 0，所以直线 、 的斜率都存在且都不为 0，
2 3
2 = 2+2 = 2 1 2 = 2 1 3 = 1 2 3 2

= 2
1+ 2 3 2 3 9
因此 1 2 1 1 1 2+2 1 2+1 1 2+ 1 3
= = 3．
2 2 1+ 2 + 1
1 3 2
1
(3)由(2)知： 2 = 3 1 ≠ 0，因此直线 和直线 方程分别为： = 1( 2)和 = 3 1( + 2).
= 1( 2) = 4所以由 = 3 1( + 2)
解得： = 6 ，因此点 在直线 = 4 上，即点 在圆 外，如下图所示，1
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1
由(2)知：直线 的方程为： = 1，因此点 到直线 的距离 = 2 ， +1
2
所以弦 2的长 = 2 22 1 = 2 4 +3．
2+1 2+1
因为△ ∽△ ，而 = 4，
4 2+3
所以 1 =
2 4
=
2+1 4 2+3 1 ．
2 2 16
= 4 2+4 = 1 4 2+4
因为 ∈ ，所以 0 < 1
3 ≤ 1 1 1 3
2+1 ≤ 1，因此4 4( 2+1) < 1，所以 的取值范围范围为[ , 1).2 4
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