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22.1.2二次函数y=ax 的图象和性质
【题型1】二次函数y=ax 的图象和性质 3
【题型2】二次函数y=ax 的关系式及应用 4
【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024 八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A．B．C．D．
2.（2024秋 罗定市期末）二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（　　） A．B．C．D．
【知识点2】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025 西安二模）已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4B．-4或1C．-4D．1
2.（2025 河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M（m-4，p），N（m,p），Q（6，q）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x=t.若p＜q＜c,则t的取值范围为（　　） A．3＜t＜4B．3＜t＜4或t＞8C．t＜3或4＜t＜8D．t＞8
【题型1】二次函数y=ax 的图象和性质
【典型例题】设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是如图中的（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y=3x ；②y=x ；③y=x 的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（　　）
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③②①
【举一反三2】如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x 与y=-x 的图象，则阴影部分的面积是______ .
【举一反三3】已知抛物线y=ax 的开口向下，且|a|=3，则a=_________．
【举一反三4】分别写出抛物线y=5x 与y=-x 的开口方向、对称轴和顶点.
【题型2】二次函数y=ax 的关系式及应用
【典型例题】函数图象如图所示，则该函数关系式是（　　）
A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x
【举一反三1】函数y=ax （a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（　　）
A.±2 B.-2 C.2 D.3
【举一反三2】如图，抛物线y=x 上有两点A、B，A、B关于y轴对称，AB=4，则OB的长为（　　）
A.2 B.2 C. D.4
【举一反三3】二次函数y=（k+2）x 的图象如图所示，则k的取值范围是 ．
【举一反三4】一个二次函数，它的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点（-1，-4）．
（1）写出这个二次函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）在对称轴左侧部分，y随x的增大而怎样变化？
【举一反三5】直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax 的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式．22.1.2二次函数y=ax 的图象和性质
【题型1】二次函数y=ax 的图象和性质 4
【题型2】二次函数y=ax 的关系式及应用 6
【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024 八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【解答】解：A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A． 2.（2024秋 罗定市期末）二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据m＜0函数图象开口向下，对称轴-小于零，可得函数图象． 【解答】解：A、因为二次函数y=mx2+mx（m＜0），所以，函数图象开口向下，对称轴-小于零，即：抛物线对称轴在y轴的左侧，所以，函数图象开口向下，对称轴在y轴左边，符合题意，故A正确；
B、图象开口向下，故B错误；
C、对称轴在y轴左边，故C错误；
D、图象开口向下，故D错误；
故选：A． 【知识点2】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025 西安二模）已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4B．-4或1C．-4D．1
【答案】D 【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线x=-2，再根据当x＜-3时，y随x的增大而减小，得a＞0，再根据抛物线的增减性得当x=-1时，y=-1，代入抛物线解析式求值即可． 【解答】解：y=ax2+4ax-a2+3=a（x+2）2-4a-a2+3，
∴二次函数y=ax2+4ax-a2+3的对称轴为直线x=-2，
∵当x＜-3时，y随x的增大而减小，
∴a＞0，
∵当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，在对称轴的右边，此时y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，y=-1，
∴a-4a-a2+3=-1，
解得a=1或a=-4（舍去），
即a的值为1．
故选：D． 2.（2025 河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M（m-4，p），N（m,p），Q（6，q）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x=t.若p＜q＜c,则t的取值范围为（　　） A．3＜t＜4B．3＜t＜4或t＞8C．t＜3或4＜t＜8D．t＞8
【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=t.得出（0，c）到x=t的距离为|t|，M（m-4，p），N（m,p）到x=t的距离为2，进而根据a＞0，p＜q＜c,得出2＜|6-t|＜t,即可求解． 【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线x=t.
∴，
由条件可知距离对称轴越远的点的纵坐标越大，
∵（0，c）到x=t的距离为|t|，M（m-4，p），N（m,p）到x=t的距离为2，
∴2＜|6-t|＜|t|，
解得：3＜t＜4或t＞8，
故选：B．
【题型1】二次函数y=ax 的图象和性质
【典型例题】设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是如图中的（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：因为正方形的边长为非负数，所以x≥0，所以选项A、B、D不符合题意，只有选项C符合题意．
故选：C．
【举一反三1】如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y=3x ；②y=x ；③y=x 的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（　　）
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③②①
【答案】B
【解析】①y=3x ，
②y=x ，
③y=x 中，二次项系数a分别为3，，1，
∵3＞1＞，
∴抛物线②y=x 的开口最宽，抛物线①y=3x 的开口最窄．
【举一反三2】如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x 与y=-x 的图象，则阴影部分的面积是______ .
【答案】8
【解析】∵函数y=x 与y=-x 的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
【举一反三3】已知抛物线y=ax 的开口向下，且|a|=3，则a=_________．
【答案】-3
【解析】∵抛物线y=ax 的开口向下，∴a＜0，∵|a|=3，∴a=±3，∴a=-3．
【举一反三4】分别写出抛物线y=5x 与y=-x 的开口方向、对称轴和顶点.
【答案】解：
抛物线y=5x 的开口向上，对称轴是y轴，顶点原点；
抛物线y=-x 的开口向下，对称轴是y轴，顶点原点.
【题型2】二次函数y=ax 的关系式及应用
【典型例题】函数图象如图所示，则该函数关系式是（　　）
A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x
【答案】D
【解析】设抛物线解析式为y=ax ，把（2，3）代入得a 22=3，解得a=，所以y=x ．
【举一反三1】函数y=ax （a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（　　）
A.±2 B.-2 C.2 D.3
【答案】C
【解析】把点（a，8）代入y=ax ，得a3=8，∴a=2．
【举一反三2】如图，抛物线y=x 上有两点A、B，A、B关于y轴对称，AB=4，则OB的长为（　　）
A.2 B.2 C. D.4
【答案】B
【解析】∵AB=4，∴BC=2，则点B的横坐标为2，y=x =2，
∴点B的坐标为（2，2），∴OC=2，
在Rt△OCB中，BC=2，OC=2，由勾股定理得OB=2．
【举一反三3】二次函数y=（k+2）x 的图象如图所示，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞-2
【解析】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+2＞0，
解得k＞-2．
故答案为：k＞-2．
【举一反三4】一个二次函数，它的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点（-1，-4）．
（1）写出这个二次函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）在对称轴左侧部分，y随x的增大而怎样变化？
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax ，把（-1，-4）代入得a=-4，
所以抛物线的解析式为y=-4x ；
（2）如图：
（3）在对称轴左侧部分，y随x的增大而增大．
【举一反三5】直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax 的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式．
【答案】解：设直线为y=kx+b，
∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，
∴4k+b=0，b=4 ∴y=-x+4，
∵S△AOP=，∴×4×yp=，
∴yp=，∴=-x+4，解得x=，
把点P的坐标（，）代入y=ax ，解得a=，∴y=x ．

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