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2024-2025学年重庆一中七年级（下）期中数学试卷（一实）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中是无理数的是（　　）
A. 3.1415 B. C. π0 D.
2.下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（　　）
A. 3a+4b=7ab B. a2b÷（-a）2=b
C. （x+2y）（2x-y）=4x2-4y2 D. （a-b）2=a2-b2
4.如图，直线a∥b,点B在直线a上，点C在直线b上，点A为直线a上方一点，满足AB=BC，∠ABC=90°，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　）
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
5.五一节假日期间，小新一家驱车前往重庆光环购物商场观看《烽烟三国》，恰逢高峰期，汽车在内环匀速行驶了一段时间后，遇上堵车停留了8分钟后，堵车情况有所缓解，最后以更慢的速度匀速到达目的地，下面能反映小新一家离重庆光环购物商场的距离s（m）与时间t（min）的关系大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
6.下列说法中正确的是（　　）
A. 同旁内角互补
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一”
D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
7.如图，有一只小球在一水平地板上自由滚动，地板上每个格子都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.在△ABC中，AB=AC，AB边上的中线CD把△ABC的周长分成24和12的两部分，则AB的长是（　　）
A. 16 B. 8 C. 16或8 D. 8或4
9.用大小相同的“〇”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有5个“〇”，第②个图案有11个“〇”，第③个图案有20个“〇”，按此规律排列下去，则第⑥个图案中“〇”的个数为（　　）
A. 62 B. 65 C. 68 D. 71
10.已知x2+3x-1=0，则代数式的值是（　　）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
11.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=30°，点D为AC中点，连接BD，点E、点F分别为BD、AB上两动点，过点F作FH⊥BC于点H，当AE+EF+FH取最小值时，则△ABC的面积是（　　）
A. B. C. D.
12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线CF与∠BAC的角平分线AM交于点D，过点B作BG∥AC交CF的延长线于点G，点E为CG上一点，连接AE、BE、BD，过点A作AQ⊥AD交BD的延长线于点Q，若∠BEA=90°，则下列说法：①若CE=BC，则△BGE≌△ECA；②∠ADB=135°；③BE=EA；④GE+FC=EF；⑤，其中正确的个数是（　　）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.4的算术平方根是______.
14.直径约为0.000000014米的单壁碳纳米管的强度是钢的100倍，却仅有原子级厚度，这一特性使其在纳米电子学和复合材料中具有革命性应用，把数据0.000000014用科学记数法表示为 .
15.五一节期间，某商场进行打折促销活动，购物不超过200元按原价购买，购买超过200元的部分打八折，小明购买了原价为x（x＞200）元的商品，则小明实付金额y（元）与商品原价x（元）之间的关系式是 .
16.已知一个三角形的三边长分别为3、a、6，化简：= .
17.若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和为______.
18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BF交BD的延长线于点F，若AE=5，FC=9，则BF的长度为 .
19.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，BC=3BD，连接AD，点E是AD上一点，AE：ED=2：3，连接CE，点F是CE上一点，连接BF交AD于点G，若S△BGD-S△EFG=2，S△ABC=20，则四边形FGDC的面积是 .
20.一个各个数位上数字互不相同且均不为零的四位自然数，若它的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为160，则称这个数为“吉祥数”.例如：8476，满足84+76=160，则8476是“吉祥数”，则最小的吉祥数为： ；若一个四位数（其中1≤a,b,c,d≤9，且a,b,c,d均为整数）为“吉祥数”，记，且F（M）-6是完全平方数，则满足条件的所有“吉祥数”M的和是 .
三、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
22.(本小题10分)
在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在△ABC中，点E是AC边上的中点，用尺规过点E作BC边的垂线交BC于点M，连接BE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：在△ABC中，点E、点F分别是AC、AB边上的中点，连接BE、CF，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EM⊥BC于点M，满足BE=CF，求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵点E、点F分别是AC、AB边上的中点，
∴，
∴S△BCF=S△BCE，
又∵FH⊥BC，EM⊥BC，
∴，
∴，
在Rt△FHC和Rt△EMB中，
，
∴Rt△FHC≌Rt△EMB（HL），
∴∠EBC=∠FCB，
在△BCE和△CBF中，
，
∴△BCE≌△CBF（SAS），
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形.
23.(本小题10分)
先化简，再求值：
，其中.
24.(本小题10分)
随着教育体系的不断完善，选修课已成为培养学生综合素质、拓展学术视野的重要途径.选修课不仅为学生提供了自主选择学习内容的机会，还能帮助其发掘兴趣、发展特长，从而更好地适应多元化的社会需求.为了了解同学们的兴趣爱好，学校对七年级同学们最喜欢的选修课情况随机抽取了部分学生进行问卷调查，设置了四种选项：A：“人文素养”；B：“科技创新”；C：“艺术修养”；D：“运动健康”，现收集、整理、分析数据后绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，请解答下列问题：
（1）参与此次调查的学生总人数是______人；在扇形统计图中，m= ______，D部分的圆心角度数是______.
（2）现从被调查的学生中随机抽一人了解他最喜欢的选修课类别，该学生最喜欢“科技创新”或“运动健康”的概率为______；补全条形统计图.
（3）若该校七年级有1500名学生，请你估计该校七年级学生中最喜欢“科技创新”和“艺术修养”这两类选修课的人数之和.
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点E为BC上一点，BE=AC，点F是BC延长线上一点，连接AF，点C恰好在AF的垂直平分线上，过点E作ED∥AB，过点F作FD∥AC.
（1）试说明：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B=28°，∠D=66°，求∠AFD的度数.
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BA延长线上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接DE、AE，AE交CD于点F.
（1）如图1，试说明：EA⊥BD；
（2）如图2，连接BE，过点C作CG⊥BE于点G，延长GC交AD于点H，若AD=AB，试说明：DE=2CH.
27.(本小题12分)
周末，小文和小华相约一起去重庆动物园看大熊猫，小文家、小华家、动物园在同一直线上，且小华家在小文家和动物园之间，小文骑自行车出发8分钟后，小华从家出发步行去动物园，几分钟后两人相遇，同时小华发现自己忘了带手机，于是马上掉头原路原速返回家，拿到手机后立即乘出租车原路追赶小文（掉头和拿手机、等车的时间忽略不计），最终他们同时到达动物园.在运动过程中，小文、小华两人距离小华家的路程之和y（m）与小文出发的时间为x（min）之间的关系如图所示.
（1）小文的速度是______米/分钟；小华家到动物园的距离是______米；
（2）求小华步行和出租车的速度分别是多少米/分钟；
（3）当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为多少米？
28.(本小题12分)
如图，在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰△ADE.
（1）如图1，点D为BC的中点，点E在AC上，满足AE=DE，点H在AD上，连接HE，若HA=HE=2，求HD的长；
（2）如图2，点D在CB的延长线上，AD=AE，∠BAC在∠DAE内部，∠CAE-∠CDE=30°，点F是AC上一点，连接BF交DE于点G，BF的延长线交AE于点Q，若∠AQB+∠DAB+2∠EDC=90°，点Q为AE中点.猜想BD与CD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，AE=DE，且∠DAE=30°，取BC中点N，点M是AC上一点，满足AM=BD，连接MN，当AD+MN取得最小值时，点P为直线MN上一动点，点K为AB上一动点，直接写出当PK+PA取得最小值时，∠NAD、∠APK、∠MNC的数量关系.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】A
12.【答案】B
13.【答案】2
14.【答案】1.4×10-8
15.【答案】y=0.8x+40（x＞200）
16.【答案】2a-14
17.【答案】-6
18.【答案】19
19.【答案】
20.【答案】6298，
17546

21.【答案】-9；

22.【答案】如图所示：
①FH=EM；②BE=CF；③∠EBC=∠FCB；④BF=CE；⑤AB=AC
23.【答案】-16x+2y，33．
24.【答案】200，40，54°；
40%，；
975人
25.【答案】见解析；
43°．
26.【答案】∵将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，
∴∠DCE=90°，CD=CE，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠DAF=∠DCE=90°，
∴BD⊥AE；
如图2，延长BC交AE于K，过C作CQ⊥CH交AE于Q，过E作ET∥BC交CQ的延长线于T，则∠HCQ=90°，
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠HCD=∠ECQ，
在△CHD和△CQE中，
，
∴△CHD≌△CQE（ASA），
∴CH=CQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，EA⊥BD，
∴∠BAC=∠ABC=45°=∠CAK=∠CKA，
∴AC=BC=CK，
在△EAB和△EAD中，
，
∴△EAB≌△EAD（SAS），
∴BE=DE，
∵EG⊥HG，QC⊥HG，
∴QC∥BE，
∴∠TCE=∠BEC，
∵BC∥ET，
∴∠BCE=∠TEC，
∵CE=EC，
∴△BCE≌△TEC（ASA），
∴BE=CT，BC=TE，
∴CK=ET，
∵BC∥ET，
∴∠KCQ=∠T，∠CKQ=∠TEQ，
∴△CKQ≌△TEQ（ASA），
∴CQ=TQ，
∴CT=2CQ=2CH，
∴DE=2CH
27.【答案】150，2000；
小华步行的速度是100m/min，出租车的速度是600m/min；
当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为1800m或1480m或
28.【答案】HD=4；
CD=3BD；理由如下：
如图2，△ABC为等边三角形，延长BQ至点K，连接AK，EK，使得AK=AB，设AC与DE交于点R，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=CA，
∵∠CAE-∠CDE=30°，
设∠CDE=α，
∴∠CAE=α+30°，
∵∠CAE+∠AED+∠ARE=∠CDE+∠ACB+∠CRD=180°，∠ARE=∠CRD，
∴α+30°+∠AED=α+60°，
∴∠AED=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=30°，
∴∠DAE=120°，
∴∠BAD=∠DAE-∠CAE-∠BAC=120°-（α+30°）-60°=30°-α，
∵∠AQB+∠DAB+2∠EDC=90°，
∴∠AQB+30°-α+2α=90°，
∴∠AQB=60°-α，
∴∠AFQ=180°-∠CAE-∠AQB=180°-（α+30°）-（60°-α）=90°，
∴BF⊥AC，
∴AC=2AF=2CF，，
∵AK=AB，
∴∠ABK=∠AKB=30°，
∴∠KAE=∠AQB-∠AKB=60°-α-30°=30°-α，
∴∠BAD=∠KAE，
在△BAD和△KAE中，
，
∴△BAD≌△KAE（SAS），
∴BD=KE，∠AEK=∠ADB=∠ADE+∠CDE=α+30°，
∴∠AEK=∠CAE=α+30°，
∵Q为AE的中点，
∴AQ=QE，
在△AQF和△EQK中，
，
∴△AQF≌△EQK（ASA），
∴AF=KE，
∴AC=2AF=2KE=2BD，
∴BC=2BD，
∴CD=3BD；
∠ NAD+∠APK+∠MNC=90°
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