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2025-2026学年陕西省西安市高新区第四初级中学八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，，，，这五个数中，无理数的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.点A (2，-1)关于y轴对称的点 B的坐标为（ ）
A. (2, 1) B. (-2，1) C. (2，-1) D. (-2，- 1)
3.下列二次根式中，最简二次根式是（）．
A. B. C. D.
4.已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和15，则b的面积为
A. 8 B. 22 C. 24 D. 26
6.下列关于一次函数的说法，错误的是( )
A. 图象经过第一、二、四象限 B. 随的增大而减小
C. 图象与轴交于点 D. 当时，
7.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（　　）
A. 5尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺
8.如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，，点D，E可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ）
A. B. 6 C. D. 5
10.如图，在平面直角坐标系中，△，△，△，△，，都是等腰直角三角形，且点，，，，的坐标分别为，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标为（）
A. （2，25） B. （2，26） C. （，） D. （，）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数中自变量x的取值范围是 ．
12.满足的所有整数x的和是 ．
13.已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ．
14.在平面直角坐标系中，点A的坐标为．若轴，且，则点B的坐标为 ．
15.如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ．
16.如图，在中，，，为线段边上的动点，以为边向上作等边，连接、，则的最小值为
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中，．
19.(本小题8分)
已知．
(1) 请在下图中建立适当的平面直角坐标系并画出；
(2) 请画出关于轴的对称图形；
(3) 已知为轴上一点，若的面积为2，直接写出点的坐标_ _．
20.(本小题8分)
已知一次函数．
(1) 若该函数图象经过原点，求的值；
(2) 在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围；
(3) 若，当时，直接写出的取值范围．
21.(本小题8分)
某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元；乙店的香蕉价格是：若购买不超过，价格为5元，若一次性购买以上，则超过部分的价格打7折，设购买香蕉，付款金额为元．
(1) 分别就两店的付款金额，直接写出关于的函数关系式；
(2) 当时，到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．
(1) 求△ABC的面积；
(2) 如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．
23.(本小题8分)
在中，，点是的中点，点是射线上一点，过点作于点，连接．
(1) 如图1，若，求的长；
(2) 如图2，过点作交于点，求证：；
(3) 如图2，在（1）的条件下，请直接写出的值．
24.(本小题8分)
古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________，
___________，
当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
(1) 解决问题补全证明过程；
(2) 模型应用
如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．
①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少：
②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用；
(3) 模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】x≠3
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】
/
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
；
【小题3】
解：，
整理得，
解得；
【小题4】
解：，
整理得，
开立方得；
解得．

18.【答案】解：原式，
，
把，代入，
原式，
．

19.【答案】【小题1】
如图，为所作；
【小题2】
如图，为所作；
【小题3】
或

20.【答案】【小题1】
解：该一次函数的图象经过原点，
，
．
【小题2】
该一次函数的函数值y随x的增大而增大
，
．
【小题3】
当时，此时．
当时，
解得
此时x的取值范围为．

21.【答案】【小题1】
由题意得，甲店香蕉单价不变，购买香蕉，则需付款元，
乙店的香蕉价格：当购买不超过时，；购买以上时，，
故，；
【小题2】
∵
∴当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
因此，当时，选择甲店更省钱；
当时，选择两店花费金额一样多；
当时，选择乙店更省钱．

22.【答案】【小题1】
∵B(8，0)，C(8，6)，
∴BC=6，
∴S△ABC=×6×8=24；
【小题2】
∵A(0，4)，(8，0)，
∴OA=4，OB=8，
∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP
=×4×8+×4(﹣ m)=16﹣2m，
又∵S四边形ABOP=2S△ABC=48，
∴16﹣2m=48，
解得：m=﹣16，
∴P(﹣16，1)．

23.【答案】【小题1】
解：，，
，
，
；
【小题2】
证明：连接，延长交于点，如图所示：
，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小题3】
解：不妨设，
由（2）可知，，，
，
，
，
中，，，
，
，
，
，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，
，，
，
当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
故答案为：；
【小题2】
①如图所示，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置；
②如解图①，过点B作交的延长线于点E，连接
，
四边形是矩形，
千米，千米．
千米，
（千米）．
在中，由勾股定理得
（千米）．
点A与点关于对称，
，
∴千米，
∴铺设水管的最省总费用是（元）；
【小题3】
如解图②，作出点C关于的对称点，连接交于点P，使作交延长线于点E，
∴
∴，
∴代数式的最小值为17．

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