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大同中学2025-2026学年第一学期高三年级数学周练
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）
1．设集合，，则________．
2．若复数满足，则复平面内复数所对应的点位于第________象限．
3．已知三角形为单位圆的内接正三角形，则________．
4．已知各项均为正数的等比数列满足，且，则________．
5．已知函数若，那么实数的值是_______．
6．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为________．
7．存在使不等式成立，则实数的取值范围是________．
8．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为________．
9．唐宋八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修．为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的赏析课各安排一节，连排五节．若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有________种．（用数字作答）
10．若函数在区间上恰好有一个零点，则的最小值为________．
11．如图，一张圆形纸片的直径，现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点、，现沿边将、、、裁剪，剪去两个全等且关于线段的中垂线对称的与，展开得到一个镂空的图案．若，则两个镂空的四边形和面积之和的最小值为________．
12．已知非零平面向量，，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是________．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分．每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．）
13．若能被5整除，则，的一组值可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
14．已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
15．在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上，轴，轴，，垂足分别是、、，与相交于点．已知点在点的轨迹上，且，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
16．设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设，为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．22 C．26 D．31
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．）
17．已知函数，．
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设的内角，，的对边分别为，，且，，若，求．
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点，分别为，的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）当二面角为时，求直线与平面所成的角的正弦值．
19．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差．
20．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，．
（1）求的方程；
（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率．若为定值，求点的坐标．
21．若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”．
（1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；
（2）求曲线所有切线的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.四; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10. 11. 12.
二、选择题
13.C 14.D 15.A 16.B
15．在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上，轴，轴，，垂足分别是、、，与相交于点．已知点在点的轨迹上，且，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】设，则．由题意得，．
∵轴，∴，∴，∴，即，
∴点的轨迹方程为在第一象限的部分且，如图．
故为该抛物线的焦点.
设，则，
解得故选A
16．设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设，为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．22 C．26 D．31
【答案】B
【解析】因为，所以互为相反数，不妨设，
为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知，满足，取的最小值为，
满足,因为，故取的最小值，
满足，因为，故取的最小值，
同理，取的最小值，所以，
满足，取的最小值，
满足,因为,所以，取的最小值，
满足,因为,所以，取的最小值，
同理，取的最小值，所以
所以，
因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22．
故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）平均数为 74.55 （2） （3）平均数为81，方差为26.8
20．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，．
（1）求的方程；
（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率．若为定值，求点的坐标．
【答案】（1） （2）直线的斜率为 （3）
【解析】（1）由题意知，所以抛物线方程为．
（2）由（1）知．
由题意可设直线的方程为，．
联立消去得，
所以．
直线的方程为，
联立解得
同理．所以，
所以．所以直线的斜率为．
（3）设，因为
因为，
所以
当时，为定值，所以
21．【答案】（1） （2） （3）存在，唯一一个

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