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2025 年 10 月名校联考数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1
A． x 2y 1 B． ax2 bx c 0 C．3x 4 D． x2 2 0x
2
2.抛物线y 4 x 6 的顶点坐标为（ ）
A． 6,0 B． 6,0 C． 0,6 D． 0, 6
3.抛物线 y = (x 3)2 2的顶点坐标是( )
A. (3,2) B. (3, 2) C. ( 3,2) D. ( 3, 2)
4.若 x = 4是关于 x的一元二次方程x2 mx + 8 = 0的一个解．则 m的值是( )
A. 6 B. 5 C. 2 D. 6
5.用配方法解方程：x2 4x + 1 = 0，下列配方正确的是( )
A. (x 2)2 = 3 B. (x + 2)2 = 3 C. (x 2)2 = 3 D. (x 2)2 = 5
6.若将抛物线 y = x2向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位，则所得抛物线的表达式为( )
A. y = (x + 2)2 + 3 B. y = (x 2)2 + 3 C. y = (x + 2)2 3 D. y = (x 2)2 3
7.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共 90张，此小组
人数为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8.已知点 A( 3, y1)，B( 1, y2)，C(2, y 23)在函数 y = x 2x + b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为( )
A. y1 < y3 < y2 B. y3 < y1 < y2 C. y3 < y2 < y1 D. y2 < y19.已知方程x2 4x + 2 = 0的两个根分别为x1、x2，则x1 + x2 x1x2的值为( )
A. 2 B. 6 C. 2 D. 1
2
10.对于方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)，下列说法：
①若 b = a + c，则方程 ax2 + bx + c = 0必有两个实数根；
②若 a + b + c > 0，则方程 ax2 + bx + c = 0必有两个不等实数根；
③若方程 ax2 + bx + c = 0没有实数根，则方程 cx2 + bx a = 0有两个不等实数根；
④若 a + c = b，则方程 ax2 bx + c = 0必有一根为 1，其中正确的有( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
二、填空题：鄂教网，本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
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2025年10月名校联考数学试卷
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11.若关于 x 的方程 1 2 2 10 5 = 0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是 ．
12.三角形两边的长分别是 3和 4，第三边的长是方程x2 12x + 35 = 0的根，则该三角形的周长为______．
13.设 a，b是方程x2 + x 2026 = 0的两个不相等的实数根，则a2 + 2a + b的值为______．
14.如图，二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴的两个交点分别为( 1,0)，(3,0)对于下列命题：①b 2a = 0；
②4a + c > 2b；③ abc < 0，其中正确的有______．
第 14题图 第 15题图
15.如图，正方形 OABC的边长为 2，OA与 x轴负半轴的夹角为 15°，点 B在抛物线 y = ax2(a < 0)的图象
上，则 a的值为______．
三、解答题：本题共 9 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 6分)解方程：
(1) x2 9x + 14 = 0 (2) x2 3x + 5(x 3) = 0
17.(本小题 6分)已知 x=1 + 3是方程x2 2x + c = 0的一个根，求方程的另一个根及 c的值．
18.(本小题 6分)如图，二次函数 = ( + 2)2 + 的图象与 轴交于点 ，点 在抛物线上，且与点 关于抛
物线的对称轴对称．已知一次函数 = + 的图象经过该二次函数图象上的点 ( 1,0)及点 ．
(1)求二次函数与一次函数的解析式．
(2)根据图象，直接写出满足( + 2)2 + ≤ + 的 的取值范围．
19.(本小题 8分)已知关于 x的方程x2 2(k 1)x + k2 = 0有两个实数根x1，x2．
(1)求 k的取值范围；
(2)若 (x1 + x2) = x1x2 1，求 k的值．
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20.(本小题 8分)如图，某校劳动实践基地用总长为 80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为
42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x(单位：m)，与墙平行的一
边长为 y(单位：m)，面积为 S(单位：m2).
(1)矩形实验田的面积 S能刚好为 750m2吗？如果能，求 x的值；如果不能，请说明理由；
(2)当 x的值是多少时，矩形实验田的面积 S最大？最大面积是多少？
21.(本小题 8分)为满足市场需求，某超市在中秋节前夕购进价格为 12元/盒的某品牌月饼，根据市场预测，
该品牌月饼每盒售价 14元时，每天能售出 200盒，并且售价每上涨 1元，其销售量将减少 10盒，为了维护
消费者利益，物价部门规定：该品牌月饼的售价不能超过 20元/盒．
(1)当销售单价为多少元时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为 720元；
(2)当销售单价为多少元时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题 10分)定义：如果关于 的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)满足 + + = 0，那么我们称
这个方程为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程 4 2 11 + 7 = 0 是否为“黄金方程”，并说明理由；
(2)已知 3 2 + = 0 是关于 的“黄金方程”，若 是此方程的一个根，则 的值为多少？
23.(本小题 11分)项目化学习
项目主题：大同黄花的最优销售单价
项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国
内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：
（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为 80 元/千克；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
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（3）数据分析，得出结论．
收集数据：
黄花销售
单价（x 元 … 92 96 100 104 108 …
/千克）
每月销售
数量（y 千 … 880 840 800 760 720 …
克）
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
(1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量 y（千克）是黄花的销售单价 x（元/千克）的______函数（选
填“一次”或“二次”），y 与 x 的函数关系式为______．
(2)现计划在月销售成本不超过 40000 元的情况下，使得月销售利润达到 24000 元，销售单价应定为多少？
(3)若要使每月销售黄花获得的利润 w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润．
24.(本小题 12分)如图 1，抛物线 y = ax2 + bx 3经过 A( 1,0)，B(3,0)两点，与 y轴交于点 C，P为第四象
限内抛物线上一点，过点 P作 PM ⊥ x轴于点M，连接 AC，AP，AP与 y轴交于点 D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设△ CPB的面积为 S，求 S的最大值；
(3)当∠MPA = 2∠PAC时，求直线 AP的函数表达式及点 P的坐标．
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2025 年 10 月名校联考数学试卷
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
【解析】解：若 b = a + c，则Δ = b2 4ac = (a + c)2 4ac = (a c)2 ≥ 0，一元二次方程 ax2 + bx +
c = 0 有两个实数根，所以①正确；
若 a + b + c > 0，取 a = 1，b = 3，c = 4，则Δ = ( 3)2 4 × 1 × 4 = 7 < 0，此时方程没有实
数解，所以②错误；
若方程 ax2 + bx + c = 0 没有实数根，则b2 4ac < 0，即 4ac > b2 ≥ 0，对于方程 cx2 + bx a = 0，
Δ = b2 + 4ac > 0，此方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；
若 a + c = b，则方程 ax2 bx + c = 0 可变形为 ax2 ax cx + c = 0，即(x 1)(ax c) = 0，解得
x1 = 1, x
c
2 = a，所以④正确；
所以正确的结论是①③④．
11.【答案】k ≠ 1
12.【答案】12
13.【答案】2025
14.【答案】②
15. 1【答案】 3
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{#{QQABSYCQoggAQJBAARgCEQXiCACQkAECCYoOgBAUoAAACBNABAA=}#}
【解析】解：如图，连接 OB，过 B作 BD ⊥ x轴于 D；
∵四边形 OABC是正方形，
∴ ∠BOA = 45°，
∵ OA与 x轴负半轴的夹角为 15°，
∴ ∠BOD = 30°，
∵正方形的边长为 2，
∴ OB = 2；
Rt△ OBD中，OB = 2，∠BOD = 30°，
则 BD = 12OB = 1,OD = OB
2 BD2 = 3；
故 B( 3, 1)，
将点 B坐标代入抛物线的解析式得：( 3)2a = 1，
解得 a = 1，
3
16.【答案】解：(1)x2 9x + 14 = 0，
(x 2)(x 7) = 0，
x 2 = 0，x 7 = 0，
x1 = 2，x2 = 7； ……3分
(2) x(x 3) + 5(x 3) = 0，
(x 3)(x + 5) = 0，
x 3 = 0，x + 5 = 0，
x1 = 3，x2 = 5． ……6分
17.【答案】解：设方程的另一个根为x2，且x1 = 1 + 3．
∵ x1 + x2 = 2. ∴ x2 = 2 (1 + 3) = 1 3． ……3 分
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{#{QQABSYCQoggAQJBAARgCEQXiCACQkAECCYoOgBAUoAAACBNABAA=}#}
又∵ x1 x2 = c．
∴ c = (1 3)(1 + 3) = 2． ……6 分
∴方程的另一个根是 1 3，c的值为 2．
18.【答案】解：(1) ∵二次函数 = ( + 2)2 + 的图象经过点 ( 1,0)，
∴ 0 = 1 + . ∴ = 1．
∴二次函数的解析式为 = ( + 2)2 1 = 2 + 4 + 3． ……2分
∴点 的坐标为(0,3)．
∵抛物线的对称轴为 = 2，点 与点 关于对称轴对称，
∴点 的坐标为( 4,3)．
∵一次函数 = + 的图象经过点 与点 ．
∴ 4 + = 3, + = 0.
= 1,
解得 = 1.
∴一次函数的解析式为 = 1． ……4分
(2)由图象可知，满足( + 2)2 + ≤ + 的 的取值范围为 4 ≤ ≤ 1 ……6 分
19.【答案】解：(1) ∵关于 x的方程x2 2(k 1)x + k2 = 0 有两个实数根x1，x2，
∴ Δ = [ 2(k 1)]2 4k2 = 8k + 4 ≥ 0，
∴ k ≤ 12； ……4分
(2) ∵ x + x 2(k 1)1 2 = 1 = 2k 2，x1x2 = k
2，
∴ (2k 2) = k2 1，
∴ k1 = 1，k2 = 3，
又∵ k ≤ 12，
∴ k = 3． ……8 分
20.【答案】解：(1) ∵ 2x + y = 80，
∴ y = 2x + 80，
∵ S = xy，
∴ S = x( 2x + 80) = 2x2 + 80x；
∵ y ≤ 42，
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∴ 2x + 80 ≤ 42，
∴ x ≥ 19，
∴ 19 ≤ x < 40，
当 S = 750时， 2x2 + 80x = 750，
x2 40x + 375 = 0，
(x 25)(x 15) = 0，
∴ x = 25，
∴当 x = 25m时，矩形实验田的面积 S能达到 750m2； ……4 分
(2) ∵ S = 2x2 + 80x = 2(x2 40x) = 2(x2 40x + 400 400) = 2(x 20)2 + 800，
∴当 x = 20m时，S有最大值 800m2． ……8 分
21.【答案】解：(1)设销售单价为 x元/盒，由题意得：(x 12)[200 10(x 14)] = 720，
解得 x = 16或 30，
∴ x ≤ 20，
∴舍去 x = 30，
∴ x = 16；
故销售单价为 16元/盒时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为 720元； ……4分
(2)销售单价为 x元/盒时，超市每天销售该品牌月饼获得利润 w元，
由题意得：w = (x 12)[200 10(x 14)] = 10(x 23)2 + 1210(x ≤ 20)，
∵ a = 10 < 0，故抛物线开口向下，当 x < 23时，w随 x的增大而增大，
故 x = 20(元/盒)时，w最大，w的最大值为 1120(元)
故当销售单价为 20元/盒时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大，最大利润是 1120
元． ……8 分
22.【答案】
(1)解：方程 4x2-11x+7＝0是“黄金方程”．理由如下：∵a＝4，b＝-11，c＝7，∴a+b+c＝4-11+7
＝0．
∴一元二次方程 4x2-11x+7＝0是“黄金方程”． ……4分
(2)∵3x2-mx+n＝0是关于 x的“黄金方程”，∴3-m+n＝0．∴n＝m-3．∴原方程可化为 3x2-mx+m-3
＝0．∵m是此方程的一个根，∴3m2-m2+m-3＝0 3，即 2m2+m-3＝0． 解得 m1＝1， 2 = 2．
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∴m的值为 1或 32． ……10 分
23.【答案】
【详解】（1）解：观察表格可知黄花每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次
函数．
设一次函数关系式为 y kx b，
将点 92,880 ， 96,840 代入，得
92k b 880

96k b
，
840
k 10
解得 ，
b 1800
一次函数关系式为 y 10x 1800．
故答案为：一次函数， y 10x 1800； ……3 分
（2）解：根据题意知，月销售利润为：
w x 80 y 10x 1800 x 80 10x2 2600x 144000，
∵月销售利润达到 24000元，
∴ 10x2 2600x 144000 24000，
解得 x1 120，x2 140，
当 x1 120时，
销售成本为80 10 120 1800 48000 40000，
不符合题意舍去；
当 x2 140时，
销售成本为80 10 140 1800 32000 40000，
符合题意；
故销售单价应定为 140元； ……7 分
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（3）解：根据题意，得w 10x2 2600x 144000 2 10 x 130 25000，
∵ 10 0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当 x 130时，w 25000最大 ，
答：当黄花的单价为 130元/千克，最大利润为 25000元． ……11 分
【答案】解：(1)抛物线 y = ax2 + bx 3经过 A( 1,0)，B(3,0)两点，把点 A，点 B坐标代入
y = ax2 + bx 3得：
∴ a b 3 = 09a + 3b 3 = 0，
a = 1
解得： b = 2，
∴抛物线的函数表达式为 y = x2 2x 3； ……3 分
(2)抛物线 y = x2 2x 3与 y轴交于点 C，
令 x = 0，则 y = 3，
∴ OC = 3；
∵点 B的坐标为(3,0)，
∴ OB = OC = 3；
如图 1，连接 BC，设点 P的坐标为(t, t2 2t 3)，
∵点 P在第四象限，
∴ PM = (t2 2t 3)，OM = t，BM = OB OM = 3 t，
∴ S = S梯形 OMPC + S△MBP S△OCB
= 12 [ (t
2 2t 3) + 3]t + 12 [ (t
2 2t 3)](3 t) 12 × 3 × 3
2025年10月名校联考数学答案
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= 32 t
2 + 92 t
= 32 (t
3
2 )
2 + 278，
∵ 32 < 0，
∴ S存在最大值，
当 t = 3 272时，S有最大值 8； ……7 分
(3)解：如图 2，作 AH//PM,则 AH//y轴
∴ ∠PAH = ∠APM，
∵ ∠APM = 2∠PAC，
∠PAH = 2∠PAC，∴ ∠HAC = ∠PAC
∵ AH//y轴，∴ ∠HAC = ∠ACD ∴ ∠PAC = ∠ACD
∴AD=CD
∵C(0,-3) A(-1,0)
∵A(-1,0) ∴AP: y = 43 x
4
3．
y = x2 2x 3
联立
y = 4 x 43 3
∴点 P的坐标为( 5 , 323 9 )， ……12 分
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