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2025-2026学年广东省湛江市第二中学高一上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合若集合，集合，则集合( )
A. B.
C. 或 D. 或
2.命题“或”的否定形式是
A. 或 B. 或
C. 且 D. 且
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设集合，则是的真子集的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：；；；( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，满足，，则( )
A. B.
C. D. 的取值范围是
10.关于的不等式的解集可能为( )
A. B.
C. D.
11.已知，，且，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为 ．
13.已知，且，，，则与的大小关系为 ．
14.命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若，求的取值范围；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知集合，非空集合．
若是的必要条件，求实数的取值范围；
是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
求不等式的解集；
若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知为正实数，利用基本不等式证明，确定，并指出等号成立的条件，然后解中的问题．
请根据基本不等式，证明；
请根据中的结论，确定与的大小关系无须推导；
若，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集
已知，当时，，
若存在正实数，，使不等式有解，求的取值范围
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以．
当时，，解得；
当时，解得．
综上所述，的取值范围为．
由题意，需分和两种情形进行讨论：
当时，由得；
当时，因为，所以解得，或无解．
综上所述，的取值范围为．

16.解：非空集合可得：，解得：
由是的必要条件，可得：，
所以，解得：，综上实数的取值范围；
存在，由是的充分条件，则，
所以，解得：，所以实数的取值范围

17.解：当时，，
所以方程的根为或，
所以不等式的解集为．
若，即，此时二次函数的图象在轴上方，
不等式的解集为；
若，即，此时方程为，
只有一个根，不等式的解集为；
若，即，
此时方程的两根分别为，，
不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
因为，故抛物线的对称轴为且开口向上，
而不等式的解集中恰有三个整数解，
故且，在不等式的解集中、关于对称，
，不在不等式的解集中、关于对称，
故
故．

18.解：因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
又，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
，当且仅当时等号成立．
推导如下：
由于，当且仅当时等号成立，
令，得，
即，故，
所以，当且仅当时等号成立．
因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，
因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．

19.解：因为关于的不等式的解集为，
所以，即
所以不等式可转化为，
又，所以，即，
当，即时，解得
当，即时，解得
当，即时，解得，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
因为当时，，所以，
即，所以，
若存在正实数，，使不等式有解，则，
，
当且仅当，即时，，
所以，解得或，
即的取值范围是．
由，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．

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