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2025-2026 学年上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学
高一上学期第一次学情调研数学试卷
一、单选题：本大题共有 4题，满分 18 分，第 1、2 题每题 4 分，第 3、4 题每题 5 分。在每小题给出的选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题是假命题的为( )
A. 2 > 2 > ; B. > 1 1若 ，则 若 且 > ，则 < 0;
C.若 > > 0 且 < 0,则 2 > 2； D.若 > > 0 > > ，则 > .
2 5.已知集合 = = 6 , ∈ ， = =
1
2 3 , ∈ ， = =
+ 12 6 , ∈ ，则集合 , ,
的关系为( )
A. = = B. =
C. D. , ∩ =
3 .“ 1 1 1 = = ”是“不等式
2 2
1 + 1 + 1 > 0 与 2 + 2 + 2 > 0 同解”的( )条件．
2 2 2
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
4.当一个非空数集 满足“如果 , ∈ ，则 + ， ， ∈ ，且 ≠ 0 时， ∈ ”时，我们称 就是
一个数域，以下四个关于数域的命题：
①0 是任何数域的元素；②若数域 有非零元素，则 2023 ∈ ；
③集合 = = 2 , ∈ Z 是一个数域；④有理数集是一个数域．
其中假命题的个数是( )．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共 12 题，第 5-10 题每题 4 分,第 11-16 题，每题 5 分，共 54 分。
5.已知 ∈ 1, 2 ，则 = ．
6.能被 3 整除余 2 的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ．
7.若 1 < < 4， 1 < < 3，则 2 的取值范围是 ．
8.用反证法证明命题“若 2 ( + ) + ≠ 0，则 ≠ 且 ≠ ”时，应假设为 ．
9.设集合 = 1 < < 3 ， = < ，若 ，则 的取值范围是 ．
10.设集合 = = 2 + 1 , = = 2 + 2 + 3 ，则 ∩ = ．
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11.某班学生共 45 人，一次摸底考试：数学 20 人得优，语文 15 人得优，这两门都不得优的有 20 人，则
这两门都得优的人数为 ．
12.已知关于 的不等式 2 + + < 0 的解集是{ |3 < < 5}，则关于 的不等式 2 + > 0 的解集
为 ．
13.定义集合 = | ≤ ≤ 的“长度”是 1，其中 ， ∈ .已知集合 = ≤ ≤ + 2 ， =
35 ≤ ≤ ，且 ， 都是集合 |1 ≤ ≤ 2 的子集，则集合 ∩ 的“长度”的最小值是 ；
14.已知 ∈ R，记符号[ ]表示不大于 的最大整数，集合 = [ ]2 2[ ] = 3 ， = [ 1,3]，则
∩ = ．
15.对于非空实数集合 ，记 = ∈ , ≤ ，设非空实数集合 满足条件“若 < 1，则 ”且
，给出下列命题：
①若全集为实数集 R，对于任意非空实数集合 ，必有 R = ；
②对于任意给定符合题设条件的集合 ， ，必有 ；
③存在符合题设条件的集合 ， ，使得 ∩ = ；
④存在符合题设条件的集合 ， ，使得 ∩ ≠ ．
其中所有正确命题的序号是 ．
16.若规定由整数组成的集合 = {0,1,2, , }， ≥ 10， ∈ 的子集 1, 2, 3, , 为 的第 个子集，其
中 = 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 ，则 的第 2025 个子集是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 13 分)
已知集合 = 1,3, 2 ， = 1, + 2 ．
(1)若 ∩ = 1,4 ，求集合 ∪ ；
(2)设 = ，若 = {3}，求实数 的值．
18.(本小题 15 分)
已知 : ( + 4)( 1) ≤ 0， : 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0．
(1)若 = 1， ， 有且只有一个为真，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
19.(本小题 16 分)
设集合 = { | 2 3 + 2 = 0}, = { | 2 + 2( + 1) + ( 2 5) = 0}．
(1)若 ∩ = {2}，求实数 的值；
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(2)若 集合中有两个元素 1, 2，求 1 2 ；
(3)若 = R, ∩ = ，求实数 的取值范围．
20.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 (2 + 2) + 4．
(1)若 = 3，求不等式 > 0 的解集；
(2)是否存在实数 使得方程 = 0 1 1有两个不相等的实数根且 + = 1 成立，若存在求出 的值，若不存在，1 2
请说明理由；
(3)若关于 的不等式 > 2 + 2 的解集是实数集 ，求实数 的取值范围．
21.(本小题 17 分)
已知集合 为非空数集.对于集合 ，对 中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组
成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合 的 1 次自相加集合”，
再进行 1 次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合 的 次自相加集合”.若集合 的任意 次自相加集
合都不相等，则称集合 为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“ 的 1 次自相减集合”，集合
的 1 次自相加集合和 1 次自相减集合分别可表示为： + = ∣ = | + |, ∈ , = { ∣ = |
|, , ∈ }．
(1)已知有两个集合，集合 = 1,2,3,4 ，集合 = = 2 + 1, ∈ Z ，判断集合 和集合 是否是完美自
相加集合，并说明理由；
(2)对(1)中的集合 进行 11 次自相加操作后，求：集合 的 11 次自相加集合的元素个数；
(3)若 0 ≤ ≤ 2025 且 ∈ N，集合 = ∣ ≤ ≤ 2025, ∈ N , + ∩ = ，求： 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.0
6.{ | = 3 + 2, ∈ N}
7.( 1,9)
8. = 或 =
9.[3, + ∞)
10. |1 ≤ ≤ 4
11.10
12. ∞, 4 3115 ∪
4+ 31
15 , + ∞
13. 110/0.1
14.[ 1,0) ∪ 3
15.②③④
16. 0,3,5,6,7,8,9,10
17.(1)由集合 = 1,3, 2 ， = 1, + 2 ，
2
若 ∩ = 1,4 ，可得 4 ∈ 且 4 ∈ ，则 = 4，解得 = 2，
+ 2 = 4
所以 = 1,3,4 , = 1,4 ，可得 ∪ = 1,3,4 ．
(2)由集合 = 1,3, 2 ， = 1, + 2 ， = ，
若 = {3}，则 2 = + 2，解得 = 2 或 = 1，
当 = 2 时， = 1,3,4 , = 1,4 ，满足 = {3}；
当 = 1 时， = 1,3,1 ， = 1,1 ，不满足集合中元素的互异性，舍去．
综上所述，实数 的值为 2．
18.(1)由( + 4)( 1) ≤ 0，得 4 ≤ ≤ 1；
当 = 1 时，由 2 3 + 2 ≤ 0，得 1 ≤ ≤ 2．
若 ， 有且只有一个为真命题，则 真 假，或 假 真，
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当 4 ≤ ≤ 1 4 ≤ ≤ 1真 假时， < 1或 > 2，得 4 ≤ < 1；
< 4 > 1当 假 真时， 1 ≤ ≤ 2或 1 ≤ ≤ 2，解得 1 < ≤ 2，
综上，实数 的取值范围为{ ∣ 4 ≤ < 1 或 1 < ≤ 2}．
(2)由 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0，得 ≤ ≤ + 1．
≥ 4
因为 是 的充分不必要条件，则 + 1 ≤ 1，且等号不同时成立，解得 4 ≤ ≤ 0，
所以实数 的取值范围为 ∣ 4 ≤ ≤ 0 ．
19.(1)依题意， = 1,2 ，由 ∩ = {2}，得 2 ∈ ，
则22 + 4( + 1) + ( 2 5) = 0，化简得 2 + 4 + 3 = 0，解得 = 1 或 = 3，
当 = 3 时， = { | 2 4 + 4 = 0} = {2}，满足 ∩ = {2}，
当 = 1 时， = { | 2 4 = 0} = { 2,2}，满足 ∩ = {2}，
所以 = 1 或 = 3．
(2)由集合 中有两个元素 1, 2，得方程 2 + 2( + 1) + ( 2 5) = 0 有两个不等实根，
则 = 4( 2 + 1)2 4( 2 5) = 8 + 24 > 0 > 3， 1 + 2 = 2( + 1), 21 2 = 5，
所以 2 2 21 2 = ( 1 + 2) 4 1 2 = 4( + 1) 4( 5) = 8 + 24 = 2 2 + 6( > 3)．
(3)由 ∩ = ，得 ，而 = {1,2}且 = R， = 8 + 24，
当 = 时，8 + 24 < 0，解得 < 3；
当 = {1}
8 + 24 = 0
时，则 12 + 2( + 1) + ( 2 5) = 0，无解；
当 = {2}
8 + 24 = 0
时，则 22 + 4( + 1) + ( 2 5) = 0，解得 = 3；
8 + 24 > 0
当 = {1,2}时，则 1 + 2 = 2( + 1)，无解，
2 = 2 5
所以实数 的取值范围为 ≤ 3．
20.(1)当 = 3 时， = 3 2 + 4 + 4，由 > 0，得 3 2 + 4 + 4 > 0，即 3 2 4 4 < 0，
整理得(3 + 2)( 2) < 0 2 2，解得 3 < < 2，则不等式 > 0 的解集为 3 < < 2 ．
(2)不存在实数 符合题意，理由如下：
由 = 0，得 2 (2 + 2) + 4 = 0，
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若存在实数 1 1使得方程 = 0 有两个不相等的实数根且 + = 1 成立，1 2
+ 2 +21 2 =
则 ≠ 0， 1 ≠ 0， 2 ≠ 0， 1 ≠ 2，由韦达定理得 ,
1
4
2 =
2 +2
1 + 1 1+ 由 2 = 1，得 = 1，则 4 = 1，解得 = 1，1 2 1 2
此时方程为 2 4 + 4 = 0，即( 2)2 = 0，解得 1 = 2 = 2，
因此，不存在实数 符合题意．
(3)由 > 2 + 2 ，得 2 (2 + 2) + 4 > 2 + 2 ，整理得( + 1) 2 (2 + 2) + 6 > 0，
当 + 1 = 0，即 = 1 时，不等式为 6 > 0，此时不等式恒成立，符合题意；
当 + 1 ≠ 0，即 ≠ 1 时，由不等式的解集是实数集 ，
+ 1 > 0
得 = (2 + 2)2 24( + 1) < 0，解得 1 < < 5，
综上所述， 1 ≤ < 5
因此，实数 的取值范围为[ 1,5)．
21.(1) 是完美自相加集合， 不是完美自相加集合．
理由如下：
因为集合 = 1,2,3,4 ，所以 + = 3,4,5,6,7 ，由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之
前的集合中的最小两个元素之和，所以显然集合 = 1,2,3,4 的最小两个元素为 1,2，所以 +中的最小元素
为 1 + 2 = 3 同理，2 次自相加后得到的集合中的最小元素是 3 + 4 = 7.依照这样的规律，对集合 =
1,2,3,4 进行任意次自相加操作后，最小值总在变大，故不可能有相等集合，所以 是完美自相加集合；
因为集合 = = 2 + 1, ∈ Z 表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加的和都是偶数，所以 + =
= 2 , ∈ Z ，为所有偶数构成集合；所以对 + = = 2 , ∈ Z 再进行一次自相加操作，因为任意
两个偶数相加的和还是偶数，故后面集合不管进行多少次相加都与 + = = 2 , ∈ Z 相同；故 不是完
美自相加集合．
(2)由自相加性质可知，对于集合 = 1,2,3,4 ，进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来集合的两
个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合 = 1,2,3,4 进行 1 次自相加之后，得到的集合最小两个元素为 3,4，最大的两个元素为 6,7；
进行第 2 次自相加，得到的集合最小两个元素为 7,8，最大的两个元素为 12,13；
进行第 3 次自相加，得到的集合最小两个元素为 15,16，最大的两个元素为 24,25；
进行第 4 次自相加，得到的集合最小两个元素为 31,32，最大的两个元素为 48,49；
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进行第 5 次自相加，得到的集合最小两个元素为 63,64，最大的两个元素为 96,97；
进行第 6 次自相加，得到的集合最小两个元素为 127,128，最大的两个元素为 192,193；
进行第 7 次自相加，得到的集合最小两个元素为 255,256，最大的两个元素为 384,385；
进行第 8 次自相加，得到的集合最小两个元素为 511,512，最大的两个元素为 768,769；
进行第 9 次自相加，得到的集合最小两个元素为 1023,1024，最大的两个元素为 1536,1537；
进行第 10 次自相加，得到的集合最小两个元素为 2047,2048，最大的两个元素为 3072,3073；
进行第 11 次自相加，得到的集合最小两个元素为 4095,4096，最大的两个元素为 6144,6145；
因为集合 的 次自相加集合中的元素都是连续的整数，所以集合 进行 11 次自相加操作后的元素个数为
6145 4095 + 1 = 2051．
(3)因为 0 ≤ ≤ 2025 且 ∈ N，集合 = ∣ ≤ ≤ 2025, ∈ N ,
所以 + = ∣2 + 1 ≤ ≤ 4049, ∈ N , = ∣1 ≤ ≤ 2025 , ∈ N ,
要使 + ∩ = ，须使 2 + 1 > 2025 ，所以 > 20243 = 674
2
3，又因为 ∈ N，故 的最小值为 675．
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