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2025-2026学年江苏省靖江高级中学高一上学期第一次阶段检测（9月
月考）数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各项中表示同一集合的是( )
A. = 3,1 , = 1, 3
B. = 3,1 , = 1, 3
C. = , ∣ 2 2 = 1 , = ∣ 2 2 = 1
D. = 3,1 , = 3,1
2.已知 : < 1，则 的一个充分不必要条件为( )
A. < 1 B. < 2 C. 8 < < 2 D. 10 < < 3
3.已知 为全集，则下列说法错误的是( )
A.若 ∩ = ，则( ) ∪ ( ) =
B.若 ∪ = ，则 = =
C.若 ∪ = ，则( ) ∩ ( ) =
D.若 ∩ = ，则 = 或 =
4.命题“ ≥ 3, 2 1 ≥ 0”的否定为( )
A. < 3, 2 1 ≤ 0 B. ≥ 3, 2 1 < 0
C. < 3, 2 1 < 0 D. ≥ 3, 2 1 < 0
5.设集合 = = 1 ，集合 = 2 2 > 0 ，则 ∩ 等于( )
A. 0,2 B. 1,2 C. 0,1 D.
6.若“ ∈ ，使得 2 + 1 3 2 < 成立”是假命题，则实数 可能为( )
A. 5 B. 5 C. 3 D. 3
7.若正实数 , 满足 + 2 = 4，若不等式 2 1 2 13 > + +1有解，则 的取值范围是( )
A. 4 43 , 1 B. ∞, 3 ∪ 1, + ∞
C. 1, 43 D. ∞, 1 ∪
4
3 , + ∞
8.关于 的不等式 2 + 6 3 2 ≥ 0 > 0 的解集为 1,
6
2 ，则 1 2 + 的最小值是( )1+ 2 2
A. 4 B. 2 33 C. 2 D.
2 6
3
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，真命题有( )
A.任意非零实数 , 4，都有 + ≥ 2 B. ∈ 1, + ∞ ，使得 + 1 = 6
2
C. ∈ ，都有 2 ≥ 1 D.函数 = 5 的最小值为 4
2 9
10.下列说法不正确的是( )
A.函数 = 2 4 5 的零点是 1,0 和 5,0
B.正实数 , 满足 + = 2 1 1 9，则不等式 + 4 的最小值为4
C.“ < 0”是“关于 的方程 2 2 + = 0 有一正一负两根”的充要条件
D. 1 1“ > ”是“ < ”的既不充分也不必要条件
11.设 > 1, > 1，且 + = 1，那么( )
A. + 有最小值 2 2 + 1 B. 2 + 2有最小值 18 + 12 2
C. 1 1 1 + 1有最小值 2 D. 3 + 有最小值 4 + 2 6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.集合 = | 2 8 < 0, ∈ 24，则 = ∈ 1 , ∈ 用列举法表示为 ．
( +1)202413 3 .不等式 ( 1)2025 ≥ 0 的解集为 ．
2 2
14.正实数 , 满足 + 3 = 4 3 5 +4 +12 ，则 2 的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = ∣ 2 + + 12 = 0 , = + 5,3 , 2 + 1 ，且 ∩ = 2 ．
(1)求 和 ；
(2)若集合 = ∣ 2 2 + 1 + 2 + 3 = 0 , ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知集合 = ∣ 1 < < 2 + 1 , = { ∣ 2 < < 2}．
(1)当 = 2 时，求 ∪ , ∩ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
(3)若 ∈ ，使得 ∈ ，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
2024 年 8 月 16 日，商务部等 7 部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合
《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车
补 1 万元、购买燃油乘用车补 7000 元，分别提高至 2 万元和 1.5 万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，
计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为 2000 万元，每生产 ( ∈ )百件，需另投入
成本 ( )万元，且 0 ≤ < 45 时， ( ) = 3 2 + 260 ≥ 45 4900；当 时， ( ) = 501 + +20 4950，由市
场调研知，该产品每百件的售价为 500 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)分别写出 0 ≤ < 45 与 ≥ 45 时，年利润 (万元)与年产量 (百件)的关系式(利润=销售收入 成本)；
(2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
18.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 2 + 1 + 1
(1)若该函数恰有一个零点，求实数 的值；
(2)若函数的两个零点均在 0,6 ，求实数 的取值范围；
(3)若不等式 2 2 + 1 + 1 > 2 3 对 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
1 1 1问题：已知 ， ， 均为正实数，且 + + = 1，求证： + + ≥ 9.证明： + + = + +
1
+
1
+
1
= 3 + + + + + + ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 当且仅当 = = = 3 时，等号成立.学习上述解
法并解决下列问题：
(1)已知 ， ， 均为正实数，且 + + = 4 1 + 9 16，求 + 的最小值；
2 2(2)已知 ， ， ， 均为正实数，且 2 2 = 1，求证：
2 2 ≤ ( )2；
(3)求 = 7 13 2的最小值，并求出使得 取得最小值时 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{2,3,4,5,7}
13. 1 ∪ 1,3
14.7
15.(1)由条件可知，22 + 2 + 12 = 0，得 = 8，
当 = 8 时， 2 8 + 12 = 0，得 = 2 或 = 6，
即 = 2,6 ，
当 + 5 = 2 时， = 3，此时 = 2,6,5 ， ∩ = 2,6 ≠ 2 ，不成立，
当 3 = 2 时， = 1，此时 = 6,2,3 ， ∩ = 2,6 ≠ 2 ，不成立，
当 2 + 1 = 2 1 11 5时， = 2，此时 = 2 , 2 , 2 ，满足 ∩ = 2 ，成立，
1
所以 = 8， = 2；
(2)由 ∩ = 可知， ，
当 = 时， = 4 + 1 2 4 2 + 3 = 8 8 < 0，得 < 1，
= 8 8 = 0
当 = 2 时， 4 4 + 1 + 2 + 3 = 0，得 = 1，
当 = 6 = 8 8 = 0时， 36 12 + 1 + 2 + 3 = 0，不存在 值使方程组成立，
2
当 = 2,6 4 4 + 1 + + 3 = 0时， ，得 = 3，
36 12 + 1 + 2 + 3 = 0
综上可知， ≤ 1 或 = 3
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16.(1) = 2 时， = ∣1 < < 5 ，所以 ∪ = 2 < < 5 ， ∩ = 1 < < 2 ；
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的充分不必要条件，所以 ，
因为 2 + 1 1 = 2 + 2 > 0 恒成立，所以 2 + 1 > 1 恒成立，所以 ≠ ，
1 ≥ 2
由 2 + 1 ≤ 2，解得 1 ≤ ≤ 1，
当 = 1 时， = ∣ 2 < < 2 = ，不符合 ，舍去，
当 = 1 时， = 0 < < 2 符合题意，
所以要使得 ，则 的取值范围是 1,1 ；
(3)由“ ∈ ，使得 ∈ ”得 ∩ ≠ ，
若 ∩ = ，则 2 + 1 ≤ 2 或 1 ≥ 2，解得 ≥ 3，
所以要使得 ∩ ≠ ， 的取值范围是 ∞,3 ．
17.解：(1)当 0 ≤ < 45 时，利润 = 500 3 2 260 2000 = 3 2 + 240 2000，
当 ≥ 45 时，利润 = 500 (501 + 4900 +20 4950) 2000 = 2950 ( +
4900
+20 )；
(2)由(1)知，0 ≤ < 45 时， = 3 2 + 240 2000 = 3( 40)2 + 2800，
此时 = 40(百件)时， = 2800(万元)，
≥ 45 = 2950 ( + 4900 ) = 2970 ( + 20 + 4900当 时， +20 +20 )，
因为 + 20 > 0 4900 4900， +20 > 0，所以( + 20) + +20 ≥ 2 ( + 20)
4900
+20 = 140，
当且仅当 + 20 = 4900 +20，即 = 50 时等号成立，所以 = 2970 140 = 2830(万元)，
又 2800 < 2830，所以 = 50(百件)时，利润最大，
综上，年产量为 50 百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是 2830 万元．
18.(1)当 = 0 时：函数为 = + 1，恰有一个零点，符号题意；
当 ≠ 0 时：
函数 = 2 2 + 1 + 1 是二次函数， = ( 1)2 4 × 2 × 1 = 0，
化简得 3 2 + 2 1 = 0 1，解得 = 3或 = 1．
综上， = 0 1或 = 3或 = 1．
(2)函数 = = 2 2 + 1 + 1，
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函数有两个零点，故 2 ≠ 0，即 ≠ 0，
= 3 2 2 + 1 ≥ 0，即 3 2 + 2 1 ≤ 0，解得 1 ≤ ≤ 13且 ≠ 0；
= 1 0 < 1 1 1对称轴为 2 2，需满足 2 2 ≤ 6，解得4 ≤ < 1 或 ≤ 3，
0 = 1 > 0，
6 = 36 2 + 6 1 + 1 = 36 2 + 6 5 ≥ 0，解得 ≤ 1 21 ≥ 1+ 2112 或 12 ，
1 21 1+ 21 1
综上 的取值范围为： 1, 12 ∪ 12 , 3 ．
(3)不等式 2 2 + ( 1) + 1 > 2 3 对 ∈ 恒成立，
( 2 1) 2 + ( 1) + 4 > 0 对 ∈ 恒成立，
分情况讨论：
当 2 1 = 0 时：
即 = 1 或 = 1，
当 = 1 时，不等式变为 4 > 0，对 ∈ 恒成立。
当 = 1 时，不等式变为 2 + 4 > 0，即 < 2，不满足对 ∈ 恒成立；
当 2 1 ≠ 0 时：
此时函数 = ( 2 1) 2 + ( 1) + 4 是二次函数，要使其对 ∈ 恒大于 0，需满足
2 1 > 0
= ( 1)2 16( 2 1) < 0 ,
由 2 1 > 0 得 < 1 或 > 1，
计算 = 1 2 16 2 1 = 15 2 2 + 17 < 0，即 15 2 + 2 17 > 0，
解得 < 1715或 > 1，
结合 < 1 或 > 1 17，得到 < 15或 > 1，
17
综上，实数 的取值范围是 < 15或 ≥ 1．
19.(1)由 + + = 4 + + ，得 4 = 1，且 ， ， 均为正实数，所以
1 9 16 1 9 16 + + 1 9 16 9 16
+ + = ( + + )( 4 ) = 4 [26 + ( + ) + ( + ) + ( + )]
≥ 1 9 16 9 16 14 [26 + 2 × + 2 × + 2 × ] = 4 [26 + 6 + 8 + 24] = 16．
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= 3 1 3
当且仅当 = 4 时等号成立，又 + + = 4，得 = 2， = 2， = 2 时等号成立．
3 = 4
1
故 +
9+ 16 的最小值为 16．
2 2
(2) 由 ， ， ， 均为正实数，且 2 2 = 1，所以
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 = ( 2 2)( ) = 2 + 2 ( + 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ≤ + 2 2 × 2 = + 2 = (
)2，
2 2 ≤ ( )2.
2 2 =
2 2 2 2 2 4
即 当且仅当 2 2 2 时等号成立，即 = 2 ，又 2 2 = 1，解得 = 2 2，
4 >
4
所以 时， = 2 2， = 2 2时等号成立．
故 2 2 ≤ ( )2．
(3) = 7 13 2 7 13 ≥ 0由 ，得 2 ≥ 0 ，即 ≥ 2．
2 2
令 = 7 13， = 2，则 ≥ 1， ≥ 0， > ， 2 7 2 = 1 ，即 1 1 = 1．
7
所以 = ，由(2)可得 2 = ( )2 ≥ 1 1 67 = 7，
1
42 ( )2 42 85
由 > 0，所以 ≥ 7 ，当且仅当 = 2 =
7
1 = 42 时等号成立，此时 = 42．1 7
= 85 42故 42时 取得最小值 7 ．
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