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2025-2026学年江苏省无锡市第三高级中学高一上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = 2, 1,0,1,2,3 ，集合 = { ∈ | < 2}，则 =( )
A. 1,0,1 B. 2,2,3 C. 2, 1,2 D. 2,0,3
2.命题“ > 0， 2 + 2 + 3 > 0”的否定是( )
A. > 0， 2 + 2 + 3 < 0 B. > 0， 2 + 2 + 3 ≤ 0
C. < 0， 2 + 2 + 3 < 0 D. > 0， 2 + 2 + 3 ≤ 0
3.某校高一(9)班共有 49 名同学，在学校举办的书法竞赛中有 24 名同学参加，在数学竞赛中有 25 名参加，
已知这两项都参赛的有 12 名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
4.已知集合 = { | 1 < ≤ 2}， = { |0 < ≤ }，若 ∪ = { ∣ 1 < ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. | 2 < < 0 B. 0 < ≤ 2 C. { ∣1 < ≤ 3} D. { ∣0 < < 2}
5.已知 : > 1 或 < 2， : > ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是( )
A. < 2 B. > 2 C. 2 < ≤ 1 D. ≥ 1
6.已知正实数 ， 满足 + 4 = 2 ，则 + 的最小值为( )
A. 2 + 52 B. 4 C.
9
2 D. 5
7.已知命题“ 20 ∈ 1,1 ， 0 + 3 0 + > 0”为真命题，则实数 的取值范围是( )
A. ∞, 2 B. ∞,4 C. 2, + ∞ D. 4, + ∞
8 3.已知关于 的不等式 ≤ 4
2 3 + 4 ≤ 的解集恰好为{ | ≤ ≤ }，则 的值为( )
A. 4 B. 4 3 83 C. 4 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中的假命题为( )
A. ∈ 1,1,0 ，2 + 1 > 0
B.集合 = 2 1 与集合 = 2 1 是同一个集合
C.“ ∩ 为空集”是“ 与 至少一个为空集”的充要条件
D.命题 ： 2 5 + 6 ≥ 0.命题 ： > 4.则 是 的充分不必要条件
10.若 > > 0 > 则以下结论正确的是( )
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A. >

B.
2 > 2 C. > D. + + >


11.已知 > 0, > 0 且 + = 1，则下列选项正确的是( )
A. 1的最大值是4 B. + 的最大值是 2
C. 1 + 2
2 2
的最小值是 1 + 2 D.
1
+2+ +1的最小值是4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 2 +1.不等式 1 ≤ 1 的解集为 ．
13.已知命题“ ： ∈ ， 2 ≥ 1”，若 是假命题，则实数 的取值范围是 ．
14 4.方程 2 + + 4 = 0 的解集有且仅有两个子集，则实数 的取值集合为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设集合 = { ∣ 3 < < 2}，集合 = { ∣ < 1 或 > + 2}．
(1)若 = 1，求 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知集合 = ∣ 1 ≤ ≤ 2 + 3 , = ∣ 1 ≤ ≤ 4 ，全集 = ．
(1)当 = 1 时，求 ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
(1) > 5已知 4，求函数 = 2 +
1
4 5的最小值．
(2)已知 > 0, > 0，且 = + + 8，求 的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知不等式 2 3 + 2 > 0 的解集为{ ∣ < 1 或 > }．
(1)求 , 的值；
(2)若 2 + + 3 < 0 的解集为 ，求实数 的取值范围；
(3)解不等式 2 + + < 0．
19.(本小题 17 分)
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维
到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
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1 1
例如，已知 = 1，求证：1+ + 1+ = 1．
1 1
证明：原式= + + 1+ = 1+ + 1+ = 1．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成
群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
(1)已知 = 1 1 1，求1+ 2 + 1+ 2的值；
(2)若 = 1 5 5 5 ，解方程 + +1 + + +1+ + +1 = 1；
(3) 1 1若正数 , 满足 = 1，求 = 1+ + 1+2 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 ≤ < 1
13. 4,0
14. 2,2
15.(1) = 1，则 = { ∣ < 0 或 > 3}, = ∣0 ≤ ≤ 3
所以 ∩ = { ∣0 ≤ < 2}．
(2)由 ∪ = 可得 ，
所以由题目可得 + 2 ≤ 3 或 1 ≥ 2，
解得 ≤ 5 或 ≥ 3．
所以 的取值范围为{ | ≤ 5 或 ≥ 3}．
16.(1)当 = 1 时，集合 = |0 ≤ ≤ 5 ，
∵集合 = ，∴ = | < 0,或 > 5 ，
∴ ∪ = | < 0,或 > 5 ∪ | 1 ≤ ≤ 4 = | ≤ 4或 > 5 ．
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件，则 ，
当集合 = 时，则 1 > 2 + 3，解得 < 4；
当集合 ≠ 时，则 1 ≤ 2 + 3，解得 ≥ 4，
又∵ ，
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∴ 1 ≥ 1 0 ≤ ≤ 12 + 3 ≤ 4，解得 2，
∴ 1当集合 ≠ 时，0 ≤ ≤ 2，
综上，实数 的取值范围为： ∞, 4 ∪ 0, 12 ．
17.(1) = 2 + 1 14 5 = 2 (4 5) +
1 5
4 5 + 2，
因为 > 54，所以 4 5 > 0，
1
由基本不等式得2 (4 5) +
1 1 1
4 5 ≥ 2 2 (4 5) 4 5 = 2，
1
当且仅当2 (4 5) =
1 5+ 2
4 5，即 = 4 时等号成立，
所以 min = 2 +
5
2．
(2)由 = + + 8 得( 1) = + 8，
因为 > 0, > 0，所以 1 > 0，
= +8所以 1，
( +8)
所以 = 1 = 1+
9
1 + 10，
由基本不等式得 1 + 9 1 ≥ 2 1
9
1 = 6，
9
当且仅当 1 = 1，即 = 4 时等号成立，
所以 的最小值为 6 + 10 = 16．
18.(1)由已知可得 = 1, = 是方程 2 3 + 2 = 0 的两根，
1 + = 3
则 2，解得 = 1, = 2；1 × =
(2)若 2 + + 3 < 0 的解集为 ，
则 = 2 12 ≤ 0，解得 2 3 ≤ ≤ 2 3，
即实数 的范围为 2 3, 2 3 ；
(3)不等式化为 2 + 2 + 2 < 0，即 2 < 0，
当 = 2 时，不等式化为( 2)2 < 0，不等式无解，
当 > 2.时，解不等式可得：2 < < ，
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当 < 2 时，解不等式可得： < < 2，
综上，当 = 2 时，不等式的解集为 ；
当 > 2 时，不等式的解集为 2, ；
当 < 2 时，不等式的解集为 , 2 ．
19.(1) 1 + 1 = + = + 1+ 2 1+ 2 + 2 + 2 + + = 1．
(2) ∵ = 1
∴ 5 5 5 原方程可化为： + + + + +1 + ( + +1) = 1
5 5 5
即： +1+ + + +1 + 1+ + = 1
∴ 5(1+ + ) 11+ + = 1，即 5 = 1，解得： = 5．
1 1 2 2 +2 +1 1
(3) = + + 1+ 2 = 1+ + 1+ 2 = = 1 = 1 2 2 +3 +1 2 2 +3 +1 2 + 1 + 3
∵ 2 + 1 ≥ 2 2
1
= 2 2
1 2
，当且仅当 2 = ，即 = 2 , =
1
= 2时，等号成立，
∴ 2 + 1 1 有最小值 2 2，此时 有最大值 3 2 2，2 +1 +3
从而 1 1 1 11 有最小值 2 2 2，即 =2 + +3 1+
+ 1+2 有最小值 2 2 2．

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