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九年级（上）大单元练习
数 学
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1．一元二次方程x2＝－3x的解是
A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3
2．二次函数y＝3（x－2）2的图象顶点坐标是
A．（－2，0） B．（－2，2） C．（2，0） D．（3，－2）
3．下列说法中错误的是
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的
B．甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数”是等可能的
D．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，“摸到白球”和“摸到红球”是等可能的
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCA＝30°，则∠ABC的度数等于
(
（第5题）
) (
（第6题）
)
(
（第4题）
)
A．60° B．50° C．40° D．30°
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象判断下列结论：①ac＜0；②b2－4ac＝0；③4a－2b＋c＞0，其中正确的结论有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，则AF的长为
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题(共10小题，每小题2分，共20分）
7．数学期末总评成绩是将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红一学期的数学期末总评成绩是 ▲ 分．
8．设方程x2－4x＋1＝0的两个根为x1与x2，则x1＋x2－x1x2的值是 ▲ ．
9．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC的长为 ▲ ．
10．用一个圆心角为120°，半径为3的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ▲ ．
11．若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是 ▲ ．
12．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，
求解可列方程为 ▲ ．（不必化简）
13．如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若∠BPD＝50°，的度数为40°，则的度数为 ▲ °．
(
（第16题）
)
(
（第13题）
)
14．若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则x的值是 ▲ ．
15．若二次函数y＝ax2＋bx＋1的最大值是2024，则y＝－a（x＋2）2－b（x＋2）＋3的最小值为 ▲ ．
16．如图，AB为半圆的直径，AB＝2，点C在半圆上，以AC为高作等腰Rt△CDE，当点C沿半圆AB从A运动点B时，线段DE扫过的面积是 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（8分）解方程：（1）x2－6x－4＝0； （2）3x（x－2）＝2x－4．
18．（7分）我市某中学举行十佳歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据所给信息填空：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分 ）
初中部 85 ▲ 85 ▲
高中部 ▲ 80 ▲ 160
（2）你觉得高中部和初中部的决赛成绩哪个更好？说明理由．
19．（7分）某初中学校建立了自管会，自管会成员每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到．某天由甲，乙，丙3名自管会检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级．
（1）甲检查初一年级的概率为 ▲ ；
（2）求他们都不检查自己所在年级的概率．
20．（8分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA，DE，BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，AB＝8，求⊙O的半径长．
21．（8分）如图，二次函数图象的顶点坐标为（2，－2），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当－2≤x≤3时，y的取值范围是 ▲ ；
（3）若点（b－2，y1），（b，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，
则b的取值范围为 ▲ ．
22．（8分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）该隧道内设双行道，中间隔离带1m，一辆货车高4m，宽2.5m，
能否安全通过，为什么？
23．（8分）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，点B、C、D在⊙O上，且PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠B＋∠D＝230°，则∠P＝ ▲ °．
24．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点P、D分别是边BC、AC上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AB·CD＝CP·BP；
（2）如图2，若PD∥AB时，求BP的长；
（3）当点P在边BC上运动时，线段AD长有最小值，最小值为 ▲ ．
图1 图2
25．（8分）（1）如图1，已知线段AB，请用尺规作出线段AB的三等分点C、D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）请用尺规在图2中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍．
（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
图1 图2
26．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的图象经过点A（1，3），B（－1，－1）．
（1）b＝ ▲ ，c＝ ▲ （用含有a的代数式表示）；
（2）求证：不论a为何值，该函数图象与x轴总有两个不同的公共点；
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当－3＜m＜0时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
27．（10分）
【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型——“半角模型”：如图1，在正方形ABCD中，E、F在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．请你写出线段BE、EF、DF的数量关系： ▲ ；
【探索发现】如图2，小明连接对角线BD，与AE、AF交于点M、N，图中与△AMN相似的三角形共有 ▲ 个，请你选择其中一组证明；
【深入研究】正方形ABCD边长为1，设BE的长为x，MN的长为y，求y与x的函数关系式．
图1 图2

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