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2025-2026学年广东省东莞市弘林高级中学高二上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.如果且，那么直线不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在侧棱上，且，若，，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知为实数，直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7.点到直线为任意实数的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线与直线之间的距离为
B. 直线在两坐标轴上的截距之和为
C. 将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为
D. 若直线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则直线的斜率为
10.在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11.如图，在棱长均为的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，若，则
C. 当时，直线与直线所成角的大小为
D. 当时，三棱锥的体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是 ．
13.在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为 ．
14.在棱长为的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点不包括端点，且，则线段的长度的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正方体的棱长为．

用空间向量方法证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知点，点，直线过点且与直线垂直．
求直线的方程；
求直线关于直线的对称直线的方程．
17.本小题分
如图，已知平行六面体．
若，求的长度；
若，求与所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是．

求证：平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点不含端点

证明：平面平面；
求平面与平面的夹角的余弦值的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

易知，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则可得，即；
又，即，
又平面，
所以平面；
易知，则，
由知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．

16.解：因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
由解得，故的交点坐标为，
因为在直线上，设关于对称的点为，
则解得
所以直线关于直线对称的直线经过点，
代入两点式方程得，即，
所以直线关于直线的对称直线的方程为．

17.解：由题知，
又，
所以，
所以．
因为，
所以，
因为，所以，
因为
，所以，
设与所成的角为，则，
即与所成角的余弦值为．

18.解：如图，连接交于点，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，所以，
又平面，
所以平面；
以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设，则，即点，
则三棱锥的体积，解得，
所以，则，
设平面的法向量，
由，令，则，
即可得平面的一个法向量，
由轴平面，故为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值是．
【点睛】

19.解：因为是等边三角形，点是棱的中点，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
在平面中，过点作，
由可知，，
所以，，
又平面，平面，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为是等边三角形，，
所以，，，
因为，所以
设所以，
所以
设平面的法向量为，
又
所以，即
令，得所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为，
又
所以，即
令，得
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，
设，因为
所以，所以
所以，
设，则由复合函数单调性可知
在时单调递增，
所以当时，即时，取到最小值．

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